Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dễ thôi bạn đặt căn lập x+4=a; căn lập x=b =>a khác b
=> a^3=x+4; b^3=x
=> a^3-b^3=4
=> (a^3-b^3)/4=1
từ pt ta có a-b=1
<=> 4(a-b)=a^3-b^3
<=> (a^2+ab+b^2-4)(a-b)=0
Do a khác b => a^2+ab+b^2=4
Thay 4= a^3-b^3
=> a^2+ab+b^2=a^3-b^3
=> tìm đc a-b-1=0
=> a=b+1
xong thay vào hệ pt x+4=a^3; x=b^3 thôi sẽ tìm đc a,b => Tìm đc x
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)\(\Rightarrow\)\(x^2+y^2+z^2=4\)
\(P=\frac{x^3}{x+3y}+\frac{y^3}{y+3z}+\frac{z^3}{z+3x}=\frac{x^4}{x^2+3xy}+\frac{y^4}{y^2+3yz}+\frac{z^4}{z^2+3zx}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{4^2}{4+3.4}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(p^2=5q^2+4\)chia 5 dư 4
=>p=5k+2\(\left(k\inℕ^∗\right)\)
Ta có : \(\left(5k+2\right)^2=5q^2+4\)
\(\Leftrightarrow5k^2+4k=q^2\Rightarrow q^2⋮k\)
Mặt khác q là số nguyên tố và q>k nên k=1
Thay vào ta được p=7,q=3
Ta có BĐT:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow6\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)+2016\le6\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+2016\)
\(\Leftrightarrow7.\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\le6\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+2016\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\le2016\)
Xét \(P=\frac{1}{\sqrt{3\left(2x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2z^2+x^2\right)}}\)
\(P^2=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{1}{\sqrt{2y^2+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{1}{\sqrt{2z^2+x^2}}\right)^2\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(P^2\le\left(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\right)\left(\left(\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2y^2+z^2}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2z^2+x^2}}\right)^2\right)\)
\(\Leftrightarrow P^2\le\frac{1}{2x^2+y^2}+\frac{1}{2y^2+z^2}+\frac{1}{2z^2+x^2}\)
Mặt khác ta có:
\(\frac{1}{2x^2+y^2}=\frac{1}{x^2+x^2+y^2}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)
\(\frac{1}{2y^2+z^2}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\)
\(\frac{1}{2z^2+x^2}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(\Rightarrow P^2\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\le\frac{1}{3}.2016=672\)
\(\Rightarrow P\le4\sqrt{42}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{1}{672}}\)
a: \(=\dfrac{2\sqrt{7}-10-6+\sqrt{7}}{4}+\dfrac{24+6\sqrt{7}-20+5\sqrt{7}}{9}\)
\(=\dfrac{3\sqrt{7}-16}{4}+\dfrac{4+11\sqrt{7}}{9}\)
\(=\dfrac{27\sqrt{7}-144+16+44\sqrt{7}}{36}=\dfrac{71\sqrt{7}-128}{36}\)
b: \(=\dfrac{\sqrt{y}\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x+y}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}}\)
c: \(=\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(3\sqrt{x}+1\right)+3\sqrt{x}-1}{\left(3\sqrt{x}-1\right)\left(3\sqrt{x}+1\right)}\right)\cdot\dfrac{3\sqrt{x}-1}{3\sqrt{x}-5}\)
\(=\dfrac{3x+\sqrt{x}-3\sqrt{x}-1+3\sqrt{x}-1}{3\sqrt{x}+1}\cdot\dfrac{1}{3\sqrt{x}-5}\)
\(=\dfrac{3x+\sqrt{x}-2}{\left(3\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{1}{3\sqrt{x}-5}\)
\(=\dfrac{3x+\sqrt{x}-2}{\left(3\sqrt{x}+1\right)\left(3\sqrt{x}-5\right)}\)
Bài 3 \(\hept{\begin{cases}x+y+xy=2+3\sqrt{2}\\x^2+y^2=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)+xy=2+3\sqrt{2}\\\left(x+y\right)^2-2xy=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}S+P=2+3\sqrt{2}\left(1\right)\\S^2-2P=6\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1)\(\Rightarrow P=2+3\sqrt{2}-S\)Thế P vào (2) rồi giải tiếp nhé. Mình lười lắm ^.^
đánh sai đề rồi bạn êi, phải là \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}=3\Leftrightarrow2x\sqrt{1-y^2}\) \(+2y\sqrt{2-z^2}+2z\sqrt{3-x^2}=6\)
<=> \(\left(x-\sqrt{1-y^2}\right)^2+\left(y-\sqrt{2-z^2}\right)^2+\left(z-\sqrt{3-x^2}\right)^2=0\)
<=> ..bla bla tự làm nhá !
Sử dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky cho 2 bộ 3 số \(\left(\sqrt{1-y^2};\sqrt{2-z^2};\sqrt{3-x^2}\right)\) và \(\left(x,y,z\right)\) ta có
\(\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\cdot\left[6-\left(x^2+y^2+z^2\right)\right]\left(1\right)\)
Đặt \(x^2+y^2+z^2=a\) ta có Bất đẳng thức (1) tương đương
\(9=\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}\right)^2\le\left(a\right)\cdot\left(6-a\right)\)
\(=-a^2+6a-9+9=-\left(a-3\right)^2+9\le9\)
Dấu "=" xảy ra khi 
Giải hệ phương trình trên ta được 
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=x^2+y^2+z^2=3\\\frac{x^2}{1-y^2}=\frac{y^2}{2-z^2}=\frac{z^2}{3-x^2}=1\end{cases}}\) giải hệ pt ta có \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\\z=\sqrt{2}\end{cases}}\)
Thế nào nó bị lỗi nên không hiển thị
a: \(\dfrac{5}{4-\sqrt{11}}+\dfrac{1}{3+\sqrt{7}}-\dfrac{6}{\sqrt{7}-2}-\dfrac{\sqrt{7}-5}{2}\)
\(=4+\sqrt{11}+\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{7}}{2}-4-2\sqrt{7}-\dfrac{1}{2}\sqrt{7}+\dfrac{5}{2}\)
\(=4+\sqrt{11}-3\sqrt{7}\)
b: \(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}-\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}-\dfrac{y+x}{y-x}\)
\(=\dfrac{x+2\sqrt{xy}+y-x+2\sqrt{xy}-y+2x+2y}{2\left(x-y\right)}\)
\(=\dfrac{2\left(x+2\sqrt{xy}+y\right)}{2\left(x-y\right)}=\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)