Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\dfrac{3}{a}=\dfrac{4}{b}=\dfrac{9}{c}\)
nên \(\dfrac{3}{a}=\dfrac{4}{b}=\dfrac{9}{c}=\dfrac{3+4+9}{a+b+c}=\dfrac{16}{a+b+c}\)
Ta có: \(a+b+c=\dfrac{3}{a}=\dfrac{4}{b}=\dfrac{9}{c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=\dfrac{16}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=16\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=4\\a+b+c=-4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{3}{a}=\dfrac{4}{b}=\dfrac{9}{c}=4\\\dfrac{3}{a}=\dfrac{4}{b}=\dfrac{9}{c}=-4\end{matrix}\right.\)
Trường hợp 1: \(\dfrac{3}{a}=\dfrac{4}{b}=\dfrac{9}{c}=4\)
nên \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{4}\\b=1\\c=\dfrac{9}{4}\end{matrix}\right.\)
Trường hợp 2: \(\dfrac{3}{a}=\dfrac{4}{b}=\dfrac{9}{c}=-4\)
nên \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{-3}{4}\\b=-1\\c=\dfrac{-9}{4}\end{matrix}\right.\)
Vậy: \(\left(a,b,c\right)\in\left\{\left(\dfrac{3}{4};1;\dfrac{9}{4}\right);\left(-\dfrac{3}{4};-1;-\dfrac{9}{4}\right)\right\}\)
Cho hệ phương trình:
\(\left{\right. a^{3} = 3 \left(\right. a + 2 b \left.\right) \\ b^{3} = 3 \left(\right. b + 2 c \left.\right) \\ c^{3} = 3 \left(\right. c + 2 a \left.\right)\)
Mục tiêu:
Tìm tất cả các số thực \(\left(\right. a , b , c \left.\right)\) thỏa mãn hệ trên.
Bước 1: Nhận xét về tính đối xứng
Hệ phương trình có dạng đối xứng cyclic (tuần hoàn) giữa \(a , b , c\).
Bước 2: Thử nghiệm trường hợp đặc biệt
Trường hợp 1: \(a = b = c = t\)
Thay vào:
\(t^{3} = 3 \left(\right. t + 2 t \left.\right) = 9 t\)\(t^{3} = 9 t \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t^{3} - 9 t = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t \left(\right. t^{2} - 9 \left.\right) = 0\)
Nên:
\(t = 0 \text{ho}ặ\text{c} t = \pm 3\)
Kết quả trường hợp 1:
\(\left(\right. a , b , c \left.\right) = \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 3 , 3 , 3 \left.\right) , \left(\right. - 3 , - 3 , - 3 \left.\right)\)
Bước 3: Tìm nghiệm khác (nếu có)
Giả sử không phải tất cả bằng nhau.
Đặt:
\(X = a + 2 b , Y = b + 2 c , Z = c + 2 a\)
Theo hệ:
\(a^{3} = 3 X , b^{3} = 3 Y , c^{3} = 3 Z\)
Bước 4: Biểu diễn theo \(X , Y , Z\)
Nhớ rằng:
\(X = a + 2 b , Y = b + 2 c , Z = c + 2 a\)
Ta có hệ tuyến tính:
\(\left{\right. X = a + 2 b \\ Y = b + 2 c \\ Z = c + 2 a\)
Viết dưới dạng ma trận:
\(\left(\right. 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \left.\right) \left(\right. a \\ b \\ c \left.\right) = \left(\right. X \\ Y \\ Z \left.\right)\)
Bước 5: Từ hệ này, nếu ma trận khả nghịch, có thể biểu diễn \(a , b , c\) theo \(X , Y , Z\), nhưng đồng thời:
\(a^{3} = 3 X , b^{3} = 3 Y , c^{3} = 3 Z\)
Điều này khá phức tạp, ta chuyển sang bước khác.
Bước 6: Cộng cả 3 phương trình
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 \left(\right. a + b + c + 2 b + 2 c + 2 a \left.\right) = 3 \left(\right. 3 \left(\right. a + b + c \left.\right) \left.\right) = 9 \left(\right. a + b + c \left.\right)\)
Như vậy:
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 9 \left(\right. a + b + c \left.\right)\)
Bước 7: Đặt \(S = a + b + c\)
Công thức trên trở thành:
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 9 S\)
Bước 8: Biến đổi thêm
Sử dụng công thức tổng lập phương:
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = \left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a \left.\right)\)
Nếu \(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 9 S\), thì:
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = 9 S - 3 a b c\)
Nhưng nếu \(a , b , c\) bằng nhau, ta có nghiệm đã tìm. Nếu không, có thể \(S = 0\).
Bước 9: Thử nghiệm \(S = 0\)
Nếu \(a + b + c = 0\), thì:
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c\)
Theo bước 7, \(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 9 S = 0\), nên:
\(3 a b c = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a b c = 0\)
Bước 10: Kết luận trường hợp \(S = 0\)
Nếu tổng bằng 0, tích bằng 0 ⇒ ít nhất một trong ba số là 0.
Giả sử \(c = 0\), hệ trở thành:
\(\left{\right. a^{3} = 3 \left(\right. a + 2 b \left.\right) \\ b^{3} = 3 b \\ 0 = 3 \left(\right. 0 + 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 0 = 6 a \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a = 0\)
Từ đó:
\(a = 0\)
Phương trình thứ hai:
\(b^{3} = 3 b \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b^{3} - 3 b = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b \left(\right. b^{2} - 3 \left.\right) = 0\)
Nên:
\(b = 0 , b = \sqrt{3} , b = - \sqrt{3}\)
Vậy nghiệm:
\(\left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , \sqrt{3} , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , - \sqrt{3} , 0 \left.\right)\)
Bước 11: Tương tự nếu \(a = 0\) hoặc \(b = 0\), sẽ có các nghiệm tương tự.
Tổng hợp nghiệm:
- \(\left(\right. a , b , c \left.\right) = \left(\right. t , t , t \left.\right)\) với \(t = 0 , 3 , - 3\)
- Các nghiệm có một số bằng 0 và các số còn lại thỏa mãn phương trình riêng biệt, ví dụ:
\(\left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , \sqrt{3} , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , - \sqrt{3} , 0 \left.\right) , \ldots\)
Đặt lần lượt x=a+b ; y=b+c; z=c+a
Thì ta có: a=\(\dfrac{x+z-y}{2}\);b=\(\dfrac{x+y-x}{2}\);c=\(\dfrac{y+z-x}{2}\)
Ráp vào BT ban đầu ta có:
\(\dfrac{z+x-y}{2y}\)+\(\dfrac{x+y-z}{2z}\)+\(\dfrac{y+z+x}{2x}\)=\(\dfrac{x+z-y}{\dfrac{2}{ }y}+\dfrac{x+y-z}{\dfrac{2}{z}}+\dfrac{y+z-x}{\dfrac{2}{x}}\)
Đến đây bạn đặt \(\dfrac{1}{2}\) chung ở vế trái sau đó chuyển vế là tính được nha
Ta có: \(a+b+c=\dfrac{3}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{9}{c}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=3\\b^2=4\\c^2=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\in\left\{\sqrt{3};-\sqrt{3}\right\}\\b\in\left\{2;-2\right\}\\c\in\left\{3;-3\right\}\end{matrix}\right.\)