Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(x^2+1\right)^2y^2+16x^2+\sqrt{x^2-2x-y^3+9}=8x^3y+8xy\)(*)
Ta có (*) <=> \(\left[\left(x^2+1\right)y-4x\right]^2+\sqrt{x^2-2x-y^2+9}=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x^2+1\right)y-4x=0\\x^2-2x-y^3+9=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}yx^2-4x+y=0\left(1\right)\\x^2-2x-y^3+9=0\left(2\right)\end{cases}}}\)
Nếu y=0 thì từ (1) => x=0, thay vào (2) không thỏa mãn
Nếu y\(\ne\)0 ta coi (1) và (2) là phương trình bậc hai ẩn x
Điều kiện để có nguyên x là: \(\hept{\begin{cases}\Delta_1=4-y^2\ge0\\\Delta_2=y^3-8\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-2\le y\le2\\y\ge2\end{cases}\Leftrightarrow}y=2}\)
Thay y=2 vào hệ (1), (2) ta được \(\hept{\begin{cases}2x^2-4x+2=0\\x^2-2x+1=0\end{cases}\Leftrightarrow x=1}\)
Vậy x=1; y=2
Giải
5 = x2y2 + ( x-2) 2 + ( 2y-2)2 -2xy(x + 2y -4 )
= [ x.y - ( x + 2.y -4 ) ] 2 - 2 ( y - 1 ) ( x - 2 )
= ( xy - x - 2y + 4 )2 -4.( xy - x - 2y + 2 )
= A2 - 4 ( A - 2 )
<=> A2 - 4.A + 3 = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}xy-x-2y+4=3\\xy-x-2y+4=1\end{cases}}\)
Lưu ý : đặt : A = xy - x - 2y + 4
TH1 : xy - x - 2.y + 4 = 3
<=> xy - x - 2y + 1 = 0
<=> x.( y - 1 ) - 2.(y-1 ) = 1
<=> ( x - 2 ) ( y - 1 ) = 1
Ta có bảng :
| x-2 | 1 | -1 |
| y - 1 | 1 | -1 |
| x | 3 | -1 |
| y | 2 | 0 |
TH2 : xy - x - 2y + 4 = 1
<=> ( x- 2 ) . ( y -1 ) =-1
| x-2 | -1 | 1 |
| y - 1 | 1 | -1 |
| x | -1 | 3 |
| y | 2 | 0 |
\(x^2y^2+\left(x-2\right)^2+\left(2y-2\right)^2-2xy\left(x+2y-4\right)=0\)
<=> \(x^2y^2+\left(x+2y-4\right)^2-2\left(x-2\right)\left(2y-2\right)-2xy\left(x+2y-4\right)=0\)
<=> \(\left[x^2y^2-2xy\left(x+2y-4\right)+\left(x+2y-4\right)^2\right]-4\left(xy-x-2y+2\right)=0\)
<=> \(\left(xy-x-2y+4\right)^2-4\left(xy-x-2y+4\right)+8=0\)
<=> \(\left(xy-x-2y+2\right)^2+4=0\)(vô nghiệm)
=>phương trình vô nghiệm
Nguyễn Linh Chi : cô làm cách đó là thiếu nghiệm rồi cô
\(\left(x^2+1\right)\left(x^2+y^2\right)=4x^2y\)
\(\Leftrightarrow x^4+x^2+x^2y^2+y^2-4x^2y=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^4-2x^2y+y^2\right)+\left(x^2-2x^2y+x^2y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y\right)^2+\left(x\left(y-1\right)\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-y=x\left(y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-y-xy+x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=-1\end{cases}}\)
+) x = -1 suy ra y = 1
+) x = y . từ đó tìm được \(\orbr{\begin{cases}x=y=0\\x=y=1\end{cases}}\)
2,Giải:
♣ Ta thấy p = 2 thì 2p + 1 = 5 không thỏa = n³
♣ Nếu p > 2 => p lẻ (Do Số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 )
Mặt khác : 2p + 1 là 1 số lẻ => n³ là một số lẻ => n là một số lẻ
=> 2p + 1 = (2k + 1)³ ( với n = 2k + 1 )
<=> 2p + 1 = 8k³ + 12k² + 6k + 1
<=> p = k(4k² + 6k + 3)
=> p chia hết cho k
=> k là ước số của số nguyên tố p.
Do p là số nguyên tố nên k = 1 hoặc k = p
♫ Khi k = 1
=> p = (4.1² + 6.1 + 3) = 13 (nhận)
♫ Khi k = p
=> (4k² + 6k + 3) = (4p² + 6p + 3) = 1
Do p > 2 => (4p² + 6p + 3) > 2 > 1
=> không có giá trị p nào thỏa.
Đáp số : p = 13
Mình gợi ý phần đầu nè. Xét \(x=0\) riêng được \(y=0\) hoặc \(y=1\).
Xét \(x\ne0\). Khi đó \(x\) và \(x^2+x+1\) nguyên tố cùng nhau với mọi \(x\) nguyên khác 0.
(Ở đây ta chỉ định nghĩa 2 số nguyên tố cùng nhau là 2 số có ước chung lớn nhất là 1 nên số âm vẫn được).
Để CM điều này ta gọi \(d=gcd\left(x^2+x+1,x\right)\) thì \(1⋮d\).
Vế trái là một số chia hết cho 4 nên trong 2 số \(x\) và \(x^2+x+1\) phải có một số chia hết cho 4
(Nếu mỗi số đều chia hết cho 2 thì không thể nguyên tố cùng nhau)
Trường hợp 1: \(x⋮4\) còn \(x^2+x+1\) lẻ.
Do \(y\) và \(y-1\) có 1 số chẵn và 1 số lẻ nên số chẵn sẽ là ước của \(x\) còn số lẻ là ước của \(x^2+x+1\).
Tức là có 2 trường hợp: \(x=4y\) và \(x=4\left(y-1\right)\).
Trường hợp 2 ngược lại.
Tới đây bạn tự giải được nha.
\(x\left[1+x+x^2\right]=4y\left[y-1\right]\)
\(\Leftrightarrow x^3+x^2-4y^2+x+4y=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left[x+1\right]+x-4y^2+4y=0\)
\(\Leftrightarrow\Delta=b^2-4ac=1-16xy+16xy^2-16y+16y^2\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x1=\frac{-1+\sqrt{1-16xy+16xy^2-16y+16y^2}}{2x+2}\\x2=\frac{-1-\sqrt{1-16xy+16xy^2-16y+16y^2}}{2x+2}\end{cases}}\)
đến đây tự làm tiếp nhé
\(pt\Leftrightarrow\frac{\sqrt{y-4}}{y}+\frac{\sqrt{x-4}}{x}=\frac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\sqrt{y-4}}{y}=\frac{\sqrt{4\left(y-4\right)}}{2y}\le\frac{4+y-4}{2\cdot2y}=\frac{1}{4}\)
Tương tự ta cũng có \(\frac{\sqrt{x-4}}{x}\le\frac{1}{4}\)
Cộng theo vế ta có Đpcm
Dấu "=" xảy ra khi x=y, thay vào giải ra ta dc x=y=8
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}y^4+1\ge2y^2\\16x^4+1\ge8x^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(y^4+1\right)\left(16x^4+1\right)\ge16x^2y^2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}y^4=1\\16x^4=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\pm1\\x=\pm\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)