Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phương trình đã cho tương đương với:
\(x^3-3x^2=m\)
Khảo sát và lập bẳng biến thiên hàm số vế trái ta có:
\(y=x^3-3x^2\)
Đạo hàm: \(y'=3x^2-6x\)
\(y'=0\Leftrightarrow x=0,x=2\)
Lập bảng biến thiên:
x y' y 0 2 0 0 + + - 8 8 + 8 + - 8 > > > 0 -4
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình \(x^3-3x^2=m\) có 3 nghiệm phân biệt thì: \(-4< m< 0\)
Ta có \(\sqrt{\left(m+2\right)x+m}\ge\left|x-1\right|\Leftrightarrow\left(m+2\right)x+m\ge x^2-2x+1\)
\(\Leftrightarrow m\ge\frac{x^2-4x+1}{x+1}\) (vì \(x\in\left[0;2\right]\)
Xét hàm số \(f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+1}{x+1}\) trên đoạn \(\left[0;2\right]\) ta có
\(f'\left(x\right)=\frac{x^2+2x-5}{\left(x+1\right)^2};f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=-1+\sqrt{6}\)
Lập bảng biến thiên ta được
\(f\left(0\right)=1;f\left(2\right)=-1\)
\(f\left(-1+\sqrt{6}\right)=2\sqrt{6}-6\)
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm thì \(m>\) min (0;2] \(f\left(x\right)=f\left(-1+\sqrt{6}\right)=2\sqrt{6-6}\)
Lời giải
khảo sát
TXD mọi x
y' =3x^2 -6x =3x(x-2)
y' =0 => x= 0 hoặc x=2
y'' =6x-6
y''(0) =-6 <0 hàm đạt cực đại tại x=0
y''(2) =6 >0 hàm đạt cực tiểu tại x =2
y'' =0 => x=1 hàm có điểm uốn tại x=1
hàm đi từ - vc--> +vc đi góc (III) lên (IV)
Vẽ đồ thị
Các điểm quan trọng
cực đại A(0,0)
cực tiểu B(2,-4)
uốn C(1,-2)
Các điểm phụ trọng
giao với trục hoành E(0,0); \(F\left(3;0\right)\)
Giao với trục tung: \(A\left(0,0\right)\)
Đồ thị
b)
nhìn vào đồ thị số y=x^3 -3x^2
Hàm số x^3 -3x^2 -m có 3 nghiệm phân biệt
khi 0<m<-4
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là \(-x+m=\frac{x^2-1}{x}\)
\(\Leftrightarrow2x^2-mx-1=0\) (*) (vì x = 0 không là nghiệm của (*))
Vì ac < 0 nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác không
Do đó đồ thị và đường thẳng luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt :
\(A\left(x_1;-x_1+m\right);B\left(x_2;-x_2+m\right)\)
\(AB=4\Leftrightarrow\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(-x_2+m+x_1+m\right)^2}=4\)
\(\Leftrightarrow2\left(x_2-x_1\right)^2=16\)
\(\Leftrightarrow\left(x_2+x_1\right)^2-4x_2x_1=8\)
Áp ụng định lý Viet ta có : \(\begin{cases}x_2+x_1=\frac{m}{2}\\x_2x_1=-\frac{1}{2}\end{cases}\)
\(AB=4\Leftrightarrow\frac{m^2}{4}+2=8\Leftrightarrow m=\pm2\sqrt{6}\)
Vậy \(m=\pm2\sqrt{6}\) là giá trị cần tìm
\(\Leftrightarrow m\left(\sqrt{x^2+2}-1\right)=x\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}-1}\)
Xét hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}-1}\)
\(f'\left(x\right)=\dfrac{2-\sqrt{x^2+2}}{\sqrt{x^2+2}\left(\sqrt{x^2+2}-1\right)^2}\)
\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}\)
\(f\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}\) ; \(f\left(-\sqrt{2}\right)=-\sqrt{2}\) ; \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=1\) ; \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-1\)
BBT:
Từ BBT ta thấy pt có 2 nghiệm pb khi \(\left[{}\begin{matrix}-\sqrt{2}< m< -1\\1< m< \sqrt{2}\end{matrix}\right.\)