Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1 dễ thì tự làm
Bài 2
\(y^2+2xy-3x-2=0\Leftrightarrow y^2+2xy+x^2=x^2+3x+2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)
Vế trái là số chính phương vế phải là tích 2 số nguyên liên tiếp nên 1 trong 2 số x+1 và x+2 phải có 1 số bàng 0
\(\Rightarrow y=-x\)
\(\orbr{\begin{cases}x+1=0\\x+2=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=-2\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=1\\y=2\end{cases}}}}\)
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(-1;1\right);\left(-2;2\right)\)
2) \(x^4-x^2+2x+2\)
\(=x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)\)
\(=x^2\left(x-1+2\right)\left(x+1\right)\)
\(=x^2\left(x+1\right)^2\)
\(=\left(x^2+x\right)^2\)
Vậy \(x^4-x^2+2x+2\)là số chính phương với mọi số nguyên x
1.
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{pq}\)
<=> \(pq\left(x+y\right)=xy\)
Đặt: \(x=ta;y=tb\) với (a; b)=1
Ta có: \(pq.\left(a+b\right)=tab\)
<=> \(pq=\frac{t}{a+b}.ab\left(1\right)\)
vì (a; b) =1 => a, b, a+b đôi một nguyên tố cùng nhau. (2)
(1); (2) => \(t⋮a+b\)
=> \(pq⋮ab\Rightarrow pq⋮a\)vì p; q là hai số nguyên tố nên \(a\in\left\{1;p;q;pq\right\}\)
TH1: a=1 => \(pq⋮b\Rightarrow b\in\left\{1;p;q;pq\right\}\)
+) Khả năng 1: b=1
(1) => \(t=2pq\)=> \(x=y=2pq\)( thỏa mãn)
+) Khả năng 2: b=p
(1) => \(pq=\frac{t}{1+p}.p\Leftrightarrow t=\left(1+p\right)q=q+pq\)
=> \(x=at=q+pq;\)
\(y=at=pq+p^2q\)(tm)
+) Khả năng 3: b=q
tương tự như trên
(1) => \(t=p\left(1+q\right)=p+pq\)
=> \(x=at=p+pq\)
\(y=bt=q\left(p+pq\right)=pq+pq^2\)
+) Khả năng 4: \(b=pq\)
(1) =>\(t=1+pq\)
=> \(x=1+pq;y=pq\left(1+pq\right)=1+p^2q^2\)
TH2: \(a=p\)
=> \(q⋮b\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b=1\\b=q\end{cases}}\)
+) KN1: \(b=1\)
Em làm tiếp nhé! Khá là dài
2. \(x^4+4=p.y^4\)
+) Với x chẵn
Đặt x=2m ( m thuộc Z)
=> \(16m^2+4=py^4\)
=> \(py^4⋮4\Rightarrow y^4⋮4\Rightarrow y^2⋮2\Rightarrow y⋮2\)=> Đặt y=2n ;n thuộc Z
Khi đó ta có:
\(16m^2+4=p.16n^2\Leftrightarrow4m^2+1=p.4n^2⋮4\)=> \(1⋮4\)( vô lí)
=> X chẵn loại
+) Với x lẻ
pt <=> \(x^4+4=py^4\)
<=> \(\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2-2x+2\right)=py^4\)(i)
Gọi \(\left(x^2+2x+2;x^2-2x+2\right)=d\)(1)
=> \(x^2+2x+2⋮d\)
\(x^2-2x+2⋮d\)
=.> \(\left(x^2+2x+2\right)-\left(x^2-2x+2\right)=4x⋮d\)
Vì x lẻ => d lẻ
=> \(x⋮d\)
=> \(2⋮d\Rightarrow d=1\)
Do đó: \(\left(2x^2+2x+2;2x^2-2x+2\right)=1\)(ii)
Từ (i) và (ii) có thể đặt: với \(ab=y^2\)sao cho:
\(x^2+2x+2=pa^2;\)
\(x^2-2x+2=b^2\)<=> \(\left(x-1\right)^2+1=b^2\)\(\Leftrightarrow\left(x-1-b\right)\left(x-1+b\right)=-1\)
<=> x=b=1 hoặc x=1; b=-1
Với x=1 => a^2.p=5 => p=5
Nếu y=0 thì pt trở thành:\(x^2-5x+6=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-3x+6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=0;x=3\)
Nếu y=1 thì pt trở thành:\(x^2-5x+4=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-x-4x+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=1;x=4\)
Nếu \(y\ge2\Rightarrow3^y⋮9\)
Do x là số tự nhiên nên x có dạng \(3k;3k+1;3k+2\) với \(k\in N\)
Với \(x=3k\) thì pt trở thành:
\(\left(3k\right)^2+5\cdot3k+7=3^y\left(KTM\right)\) vì VT không chia hết cho 3.
Với \(x=3k+1\) thì pt trở thành:
\(\left(3k+1\right)^2+5\cdot\left(3k+1\right)+7=3^y\)
\(\Leftrightarrow9k^2-9k+3=3^y\left(KTM\right)\) vì VT không chia hết cho 9.
Với \(x=3k+2\) thì pt trở thành:
\(\left(3k+2\right)^2+5\cdot\left(3k+2\right)+7=3^y\)
\(\Leftrightarrow9k^2-3k+1=3^y\left(KTM\right)\) vì VT không chia hết cho 3.
Vậy các cặp số tự nhiên \(\left(x;y\right)\) thỏa mãn là:\(\left(2;0\right);\left(3;0\right);\left(1;1\right);\left(4;1\right)\)