Question

[The Dark Knight]

tìm số nguyên x, y

(2^x+1)(2^x+2)(2^x+3)(2^x+4)-5^y=11879

Answer 1

[Lightning Farron]

Đặt \(A=\left(2^x+1\right)\left(2^x+2\right)\left(2^x+3\right)\left(2^x+4\right)\)

Ta có: \(2^x\cdot A\) là tích của \(5\) số tự nhiên liên tiếp nên \(2^x\cdot A⋮5\)

Nhưng \(2^x⋮̸5\), do đó \(A⋮5\)

Nếu \(y\ge1\), ta có \(\left(2^x+1\right)\left(2^x+2\right)\left(2^x+3\right)\left(2^x+4\right)-5^y⋮5\)

Mà \(11879⋮̸5\Rightarrow y\ge1\) không thỏa mãn suy ra \(y=0\)

Khi đó \(pt\Leftrightarrow\left(2^x+1\right)\left(2^x+2\right)\left(2^x+3\right)\left(2^x+4\right)-1=11879\)

\(\Leftrightarrow\left(2^x+1\right)\left(2^x+2\right)\left(2^x+3\right)\left(2^x+4\right)=11880\)

\(\Leftrightarrow\left(2^x+1\right)\left(2^x+2\right)\left(2^x+3\right)\left(2^x+4\right)=9\cdot10\cdot11\cdot12\Leftrightarrow x=3\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=0\end{matrix}\right.\) là 2 số tự nhiên cần tìm

Answer 2

[The Dark Knight]

lộn: x, y là số tự nhiên