Question

[Phạm Nhật Anh]

Tìm số abc biết  abc = a! + b! + c!  trong đó n! = 1.2.3....n

Answer 1

[Trần Thị Loan]

Ta có  0! = 1;   1! = 1;   2! = 2;   3! = 6;  4! = 24;   5! = 120; 6! = 720 < 1000 ; 7! = 5040 > 1000

Vì 99 <  abc < 1000 nên  99 < a! + b! + c! < 1000

Mà  tổng 0! + 1! + 2! + 3! + 4! = 34 < 99 nên trong 3 số a!; b! ; c! có ít nhất 1 số bằng 5! hoặc 6! và a; b; c \(\in\) {0;1;2;3;4;5;6}

Nếu trong 3 số a! ; b! ; c! có số bằng 6! => tổng a! + b! + c! >  720  => abc >  720 (Loại, vì a; b; c  \(\in\) {0;1;2;3;4;5;6})

=> a! = 5! hoặc b! = 5!; hoặc c! = 5!

+) TH1: a! = 5! => 5bc = 120 + b! + c! .Mà 120 + b! + c! < 500 do 0 < b; c < 4

+) TH2: b! = 5! => a5c = a! + 120 + c! . Mà a!; c! lấy từ 0! đến 4! => a! + 120 + c! < 200 => a5c < 200 => a = 1

=> 15c = 121 + c! . không có c nào thỏa mãn => Loại

+) TH3: c! = 5! => ab5 = a! + b! + 120 => a = 1 => 1b5 = 121  + b! => b! = 24 thỏa mãn => b = 4 (chọn)

Vậy số đó là 145