Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}>1\) với \(k=1,2,...,n\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho \(k+1\) số ta có:
\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{\frac{1.1...1}{k}\cdot\frac{k+1}{k}}\)
\(< \frac{1+1+1+...+1+\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{k}=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}\)
Suy ra \(1< \sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}< 1+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)
Lần lượt cho \(k=1,2,3,...,n\) rồi cộng lại ta được:
\(n< \sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}< n+1-\frac{1}{n}< n+1\)
Vậy \(\left[a\right]=n\)
Sau khi ib với Hoàng Nguyễn thì đề bài như sau
Tìm \(n\inℕ\)biết
\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+..+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=11\)
ĐKXĐ: n > 1
Ta đi c/m bài toán tổng quát
\(\frac{1}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-1}}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{a-1}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{a-1}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-1}}{a-a+1}\)
\(=\sqrt{a}-\sqrt{a-1}\)
Áp dụng vào bài toán đc
\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=11\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=11\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{n-1}-1=11\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{n-1}=12\)
\(\Leftrightarrow n-1=144\)
\(\Leftrightarrow n=145\left(TmĐKXĐ\right)\)
Vậy n = 145
Xét số hạng tổng quát \(\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}\) . Vì \(0<\frac{1}{n}<1\) nên \(1<1+\frac{1}{n}<2\) => \(\sqrt[n+1]{1}<\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}<\sqrt[n+1]{2}<\sqrt{2}\)
=> \(1<\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}<\sqrt{2}\approx1,41\) => phần nguyên các số có dạng \(\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}=1\)
A có n số hạng
Vậy A = \(\left[\sqrt{\frac{2}{1}}\right]+\left[\sqrt[3]{\frac{3}{2}}\right]+\left[\sqrt[4]{\frac{4}{3}}\right]+...+\left[\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}\right]=1+1+1+..+1=n\)
1,
Ta có; \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)
........
\(\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{\sqrt{100}}\)
Cộng các vế ta được:
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>\frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{100}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{100}{\sqrt{100}}=10\) (đpcm)
2,Câu hỏi của Nguyễn Như Quỳnh - Toán lớp 7 | Học trực tuyến
3,
3n+2-2n+2+3n-2n
= 3n.32-2n.22+3n-2n
= 3n(9 + 1) - 2n(4 + 1)
= 3n.10 - 2n.5
= 3n.10 - 2n-1.10
= 10(3n - 2n-1) chia hết cho 10
Xét số hạng tổng quát \(\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}vif0<\frac{1}{n}<1nen1<1+\frac{1}{n}<2\Rightarrow\sqrt[n+1]{1}<\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}<\sqrt[n+1]{2}<\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow1<\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}<\sqrt{2}\approx1,41\) => phần nguên các số có dạng \(\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}=1\)
=> vậy a có n số hạng => 1+1+1+...+1=n