Câu hỏi của Vu Thanh Thảo

Question

Tìm nghiệm nguyên

x³-3y³-9z³=0

Phước Nguyễn · Accepted Answer

Chú ý: Bài này trình bày rất ngắn gọn, bạn nên thêm vài yếu tố thiết yếu để làm phong phú bài toán hơn. Chúc thành công ':(

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$x^3-3y^3-9z^3=0$ $\left(1\right)$

$--------$

Từ $\left(1\right)$ suy ra $x^3=9z^3+3y^3$ $\left(2\right)$

Rõ ràng ta nhận thấy, vế trái của pt $\left(2\right)$ chia hết cho $3$ nên $x^3$ phải chia hết cho $3$

Tức là $x$ phải chia hết cho $3$

Khi đó, đặt $x=3x_1$ (với $x_1\in Z$ )

Thay vào $\left(2\right)$ , ta có:

$\left(2\right)$ $\Leftrightarrow$ $27x^3_1=9z^3+3y^3$ $\Leftrightarrow$ $y^3=9x^3_1-3z^3$ $\left(3\right)$

Lý luận như trên, ta có $y$ chia hết cho $3.$ Đặt $y=3y_1$ (với $y_1\in Z$ )

Biến đổi tương tự, ta được:

$z^3=3x^3_1-9y^3_1$ $\left(4\right)$

Lý luận như trên, ta có $z$ chia hết cho $3.$ Đặt $z=3z_1$ (với $z_1\in Z$ )

Biến đổi tương tự, ta lại có:

$\left(4\right)$ $\Leftrightarrow$ $27z^3_1=3x^3_1-9y^3_1$ $\Leftrightarrow$ $x^3_1-3y^3_1-9z^3_1=0$ $\left(5\right)$

Rõ ràng nếu bộ số gồm các ẩn $\left(x_0;y_0;z_0\right)$ là nghiệm của pt $\left(1\right)$ thì bộ số $\left(\frac{x_0}{3};\frac{y_0}{3};\frac{z_0}{3}\right)$ cũng là nghiệm của $\left(1\right),$ hơn nữa $\left(x_0;y_0;z_0\right)$ là các số lẻ và $\left(\frac{x_0}{3};\frac{y_0}{3};\frac{z_0}{3}\right)$ cũng là số lẻ. Quá trình trên cứ tiếp tục được lặp mãi và các số $\left(\frac{x_0}{3^n};\frac{y_0}{3^n};\frac{z_0}{3^n}\right)$ là các số lẻ với mọi số $n$ nguyên dương

Vậy, $x=y=z=0$

Câu trả lời: