Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
x4-2mx2+(m2-1)=0(*)
Đặt t=x2(t>=0)
PT trở thành: t2-2mt+(m2-1)=0 (1)
Để pt(*) có 3 nghiệm thì pt(1) có 1 nghiệm dương khác 0 và 1 nghiệm =0
=>m2-1=0<=>m=1 hoặc m=-1
với m=1 pt(1) có hai nghiệm t=0 hoặc t=2 (nhận)
với m=-1 pt(1) có hai nghiệm t=0 hoặc t=-2 (loại)
vậy m=1
Đặt \(f\left(x\right)=x^2-2mx+m^2-16\)
Bài toán tương đương tìm m để pt có 2 nghiệm pb thỏa mãn: \(x_1\le0< 1\le x_2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)\le0\\f\left(1\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-16\le0\\1-2m+m^2-16\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-16\le0\\m^2-2m-15\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4\le m\le4\\-3\le m\le5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-3\le m\le4\)
b) Bất phương trình đầu của hệ có nghiệm là $x>1$
Xét bất phương trình thứ hai của hệ. Ta có: \(\Delta'=m^2-1\)
\(\circledast\Delta'=0\Leftrightarrow m=\pm1\)
- Với $m=1$, nghiệm của bất phương trình là $m=1$. Do đó, hệ vô nghiệm
- Với $m=-1$, nghiệm của bất phương trình là $m=-1$. Do đó, hệ vô nghiệm
\(\circledast\)Nếu \(\Delta'< 0\) hay $-1<m<1$ thì bất phương trình này vô nghiệm. Do đó, hệ vô nghiệm
\(\circledast\)Nếu \(\Delta'>0\) hay $m<-1$ hoặc $m>1$ thì tam thức ở vế trái của bất phương trình này có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\). Nghiệm của bất phương trình này là:
\(x_1\le x\le x_2\left(x_1< x_2\right)\)
Theo định lí Vi-ét, ta có \(x_1x_2=1,x_1+x_2=2m\)
- Nếu $m<-1$ thì cả hai nghiệm \(x_1,x_2\) đều âm. Do đó, hệ vô nghiệm
- Nếu $m>1$ thì hai nghiệm \(x_1,x_2\) đều dương. Ngoài ra, vì \(x_1x_2=1\) và \(x_1\ne x_2\) nên \(x_1< 1< x_2\). Do đó, hệ có nghiệm
Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(m>1\)
\(\Delta'=m^2-4\ge0\Rightarrow m\le-2\) (do m âm)
Khi đó theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m>0\\x_1x_2=4>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1>0\\x_2>0\end{matrix}\right.\)
\(\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2+\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2=3\Leftrightarrow\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2+2\left(\frac{x_1}{x_2}\right)\left(\frac{x_2}{x_1}\right)+\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2-2=3\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^2=5\Leftrightarrow\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\sqrt{5}\) (do \(x_1;x_2>0\))
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=\sqrt{5}x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\sqrt{5}x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8=4\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow m^2=2+\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow m=-\sqrt{2+\sqrt{5}}\)
Câu 1:
a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-14x+49-2x-1=0\\x< =7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-16x+48=0\\x< =7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=4\)
Câu 2:
\(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\cdot1\cdot4=4m^2-16\)
Để phương trình có hai nghiệm thì (m-2)(m+2)>=0
=>m>=2 hoặc m<=-2
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=4\end{matrix}\right.\)
\(\left(x_1+1\right)^2+\left(x_2+1\right)^2=2\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1+2x_2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+4m-8=0\)
=>(m+2)(m-1)=0
=>m=-2(nhận) hoặc m=1(loại)
Em kiểm tra lại tử số của đề bài