Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
\(\left\{\begin{matrix} x+xy+y=2m+1\\ xy(x+y)=m^2+m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy=2m+1-(x+y)\\ xy(x+y)=m^2+m\end{matrix}\right.\Rightarrow [2m+1-(x+y)](x+y)=m^2+m\)
Đặt \(x+y=t\Rightarrow t^2-t(2m+1)+m^2+m=0\)
Để pt có bộ nghiệm (x,y) duy nhất thì $t$ phải là duy nhất. Do đó:
\(\Delta=(2m+1)^2-4(m^2+m)=0\Leftrightarrow 1=0\)
(vô lý)
Do đó không tồn tại m để hệ có bộ nghiệm duy nhất.
Dạng này làm như sau:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=S\\xy=P\end{matrix}\right.\)
Sau đó biến đổi về phương trình bậc 2 theo ẩn S
Để hệ ban đầu có nghiệm duy nhất thì trước hết phương trình theo ẩn S có nghiệm duy nhất hoặc có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm không thuộc tập xác định của hệ phương trình theo ẩn S, P. Đây mới chỉ là điều kiện cần.
Sau đó thế các nghiệm của S, P vào hệ rồi giải ra xem thử có nghiệm x, y hay không. Đây là điều kiện đủ. Xong 2 cái này thì mới kết luận là hệ có nghiệm duy nhất với m = ????
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=m\\x^2+y^2=m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=m\\\left(x+y\right)^2-2xy=m\end{matrix}\right.\)
Đặt x+y=a, xy=b, hệ phương trình trở thành:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2-2b=m\end{matrix}\right.\)
a)Với m=5, hệ phương trình trở thành:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\a^2-2b=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}b=5-a\\a^2-2\left(5-a\right)-5=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=5-a\\\left[{}\begin{matrix}a=-5\\a=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\\\left\{{}\begin{matrix}a=-5\\b=10\end{matrix}\right.\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=3\\xy=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy S={(2;1);(1;2)}
b) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2-2b=m\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=-1-\sqrt{3m+1}\\b=m+1+\sqrt{3m+1}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=-1+\sqrt{3m+1}\\b=m+1-\sqrt{3m+1}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)(m\(\ge\)\(\dfrac{-1}{3}\)) (1)
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi a2\(\ge\) 4b
\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}1+2\sqrt{3m-1}+3m-1\ge4m+4+4\sqrt{3m-1}\\1-2\sqrt{3m-1}+3m-1\ge4m+4-4\sqrt{3m-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\)m\(\ge\)0 (thỏa (1))
Vậy m\(\ge\)0 thì hệ phương trình có nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=m\\x^2+y^2=m\end{matrix}\right.\) ( Đặt \(x+y=a;xy=b\) )
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2-2b=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a=3m\)
\(VT=a^2+2a=\left(a+1\right)^2-1\ge-1\)
Do đó để HPT có nghiệm \(\Rightarrow3m\ge-1\Leftrightarrow m\ge-\frac{1}{3}\)