Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(S=x+y\); \(P=xy\) \(\left(S^2\ge4P\right)\); HPT trở thành
\(\left\{{}\begin{matrix}S+P=m+2\\SP=m+1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P=m+2-S\\\left(m+2-S\right)S=m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow S^2-S\left(m+2\right)+m+1=0\)
\(\Rightarrow\Delta=m^2\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}S=1\\S=m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S=1\\P=m+1\end{matrix}\right.\curlyvee\left\{{}\begin{matrix}S=m+1\\P=1\end{matrix}\right.\)
* Với \(\left\{{}\begin{matrix}S=1\\P=m+1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow S^2\ge4P\Leftrightarrow1\ge4\left(m+1\right)\)\(\Leftrightarrow m\le\dfrac{-3}{4}\)
Vậy nên x,y là nghiệm của phương trình
\(X^2-X+m+1=0\) \(\Rightarrow\Delta_1=1-4\left(m+1\right)\)
* Với \(\left\{{}\begin{matrix}S=m+1\\P=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow S^2\ge4P\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2\ge4\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-3\\m\ge1\end{matrix}\right.\)
Vậy x,y là nghiệm của phương trình
\(Y^2-\left(m+1\right)Y+1=0\)\(\Rightarrow\Delta_2=\left(m+1\right)^2-4\)
Để HPT có nghiệm duy nhất
1)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=0\\\Delta_2< 0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m=\dfrac{-3}{4}\) thỏa mãn đk \(S^2\ge4P\)
2) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta_2=0\\\Delta_1< 0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m=1\) thỏa mãn ĐK
3) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=0\\\Delta_2=0\end{matrix}\right.\)vô nghiệm
Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-3}{4}\\m=1\end{matrix}\right.\) thì hệ có 1 nghiệm duy nhất
1.
\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y-\sqrt{xy}=0\\\sqrt{x-1}-\sqrt{2y-1}=1\end{matrix}\right.\)
\(pt\left(1\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-2\sqrt{y}\right)=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=-\sqrt{y}\\\sqrt{x}=\sqrt{2y}\end{matrix}\right.\)
cái đầu tiên loại vì x=y=0 không phải là nghiệm của hệ
suy ra x=2y thày vào pt(2) ta thấy 0 = 1 vô lý
vậy pt vô nghiệm
Bài 1:
Khi $m=1$ thì HPT trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} x-2y=-1\\ 2x+y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-4y=-2\\ 2x+y=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (2x+y)-(2x-4y)=2-(-2)\)
\(\Leftrightarrow 5y=4\Rightarrow y=\frac{4}{5}\)
\(x=\frac{2-y}{2}=\frac{2-\frac{4}{5}}{2}=\frac{3}{5}\)
Vậy ...........
b)
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} mx-2y=m-2\\ y=m+1-2x\end{matrix}\right.\Rightarrow mx-2(m+1-2x)=m-2\)
\(\Leftrightarrow x(m+4)=3m(*)\)
Để HPT ban đầu có bộ nghiệm (x,y) duy nhất thì PT $(*)$ phải có nghiệm $x$ duy nhất. Điều này xảy ra khi $m+4\neq 0$ hay $m\neq -4$
Bài 2:
a)
Khi $m=2$ thì hệ trở thành:
\(\left\{\begin{matrix}
x+2y=1\\
2x+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
2x+4y=2\\
2x+y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (2x+4y)-(2x+y)=2-1\)
\(\Leftrightarrow 3y=1\Rightarrow y=\frac{1}{3}\)
Khi đó: \(x=1-2y=1-2.\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
Vậy HPT có bộ nghiệm duy nhất $(x,y)=(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$
b)
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1-my\\ mx+y=1\end{matrix}\right.\Rightarrow m(1-my)+y=1\)
\(\Leftrightarrow y(1-m^2)=1-m(*)\)
Để HPT ban đầu có nghiệm duy nhất thì PT $(*)$ cũng phải có nghiệm duy nhất. Điều này xảy ra khi \(1-m^2\neq 0\Leftrightarrow m\neq \pm 1\)
Khi đó:
\(y=\frac{1-m}{1-m^2}=\frac{1}{1+m}\)
\(x=1-my=1-\frac{m}{m+1}=\frac{1}{m+1}\)
Vậy HPT có nghiệm \((x,y)=(\frac{1}{m+1}, \frac{1}{m+1})\)
Để \(x,y>0\Leftrightarrow \frac{1}{m+1}>0\Leftrightarrow m>-1\)
Kết hợp những điều vừa tìm được suy ra $m>-1$ và $m\neq 1$ thì thỏa mãn.
Lời giải:
\(\left\{\begin{matrix} x+xy+y=2m+1\\ xy(x+y)=m^2+m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy=2m+1-(x+y)\\ xy(x+y)=m^2+m\end{matrix}\right.\Rightarrow [2m+1-(x+y)](x+y)=m^2+m\)
Đặt \(x+y=t\Rightarrow t^2-t(2m+1)+m^2+m=0\)
Để pt có bộ nghiệm (x,y) duy nhất thì $t$ phải là duy nhất. Do đó:
\(\Delta=(2m+1)^2-4(m^2+m)=0\Leftrightarrow 1=0\)
(vô lý)
Do đó không tồn tại m để hệ có bộ nghiệm duy nhất.
Dạng này làm như sau:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=S\\xy=P\end{matrix}\right.\)
Sau đó biến đổi về phương trình bậc 2 theo ẩn S
Để hệ ban đầu có nghiệm duy nhất thì trước hết phương trình theo ẩn S có nghiệm duy nhất hoặc có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm không thuộc tập xác định của hệ phương trình theo ẩn S, P. Đây mới chỉ là điều kiện cần.
Sau đó thế các nghiệm của S, P vào hệ rồi giải ra xem thử có nghiệm x, y hay không. Đây là điều kiện đủ. Xong 2 cái này thì mới kết luận là hệ có nghiệm duy nhất với m = ????
a) Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:\(\dfrac{m}{3}=\dfrac{-2}{2}\ne\dfrac{2}{9}\)
Xét \(\dfrac{m}{3}=\dfrac{-2}{2}\Leftrightarrow m=-3\) .
Dễ thấy \(m=-3\) thỏa mãn: \(\dfrac{-3}{3}=\dfrac{-2}{2}\ne\dfrac{2}{9}\)
Vậy \(m=-3\) hệ vô nghiệm.
b) Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:\(\dfrac{2}{1}=\dfrac{-m}{1}\ne\dfrac{5}{7}\)
Xét: \(\dfrac{2}{1}=\dfrac{-m}{1}\Leftrightarrow m=-2\)
Do \(\dfrac{2}{1}=\dfrac{-\left(-2\right)}{1}\ne\dfrac{5}{7}\) thỏa mãn nên m = - 2 hệ phương trình vô nghiệm.