Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Hai điểm cực trị của \(\left(C_1\right)\) là : \(A\left(0;3\right);B\left(2;-1\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(2;-4\right)\)
Phương trình AB : \(2x+y-3=0\)
Ta có : \(y'=3x^2-6mx+3\left(m-1\right)\)
\(x_0=1\Rightarrow y_0=2m-1;y'\left(x_0\right)=-3m\)
Phương trình tiếp tuyến \(\Delta:y=-3m\left(x-1\right)+2m-1\)
hay \(3mx+y-5m+1=0\)
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow\cos\left(AB;\Delta\right)=\cos60^0=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|6m+1\right|}{\sqrt{5\left(9m^2+1\right)}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow4\left(6m+1\right)^2=5\left(9m^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow99m^2+48m-1=0\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{-8\pm5\sqrt{3}}{33}\) là những giá trị cần tìm
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Nguyễn Dân Lập - Toán lớp 12 | Học trực tuyến
Ta có \(\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của đường thẳng d
\(y'=3x^2-2\left(m+2\right)x+m-1\Rightarrow y'\left(1\right)=3-2m-4+m-1=-m-2\)
Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ bằng 1. Suy ra phương trình của \(\Delta\) có dạng \(y=y'\left(1\right)\left(x-1\right)+y\left(1\right)\)
Do đó \(\overrightarrow{n}=\left(m+2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của \(\Delta\)
Theo đề bài ta có : \(\left|\cos\left(\overrightarrow{n_1.}\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\cos30^0\Rightarrow\frac{\left|\overrightarrow{n_1.}\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|2\left(m+2\right)+1\right|}{\sqrt{5}\sqrt{\left(m+2\right)^2+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow m^2+20m+25=0\)
\(\Leftrightarrow m=-10\pm5\sqrt{3}\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(C_1\) và \(C_2\)
\(x^3-4mx+2=3x^2-4m\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-2x-4m-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x^2-2x-4m-2=0\left(2\right)\)(\(\Delta'=4m+3\)
Số giao điểm của \(C_1\) và \(C_2\) bằng số nghiệm của phương trình (1). Do đó
* \(\Delta'< 0\Leftrightarrow m< -\frac{3}{4}:\left(2\right)\)vô nghiệm \(\Rightarrow\left(1\right)\) có nghiệm duy nhất (x = 1)
\(\Rightarrow\) \(C_1\) và \(C_2\) có một giao điểm
* \(\Delta'=0\Leftrightarrow m=-\frac{3}{4}:\left(2\right)\)trở thành \(x^2-2x+1=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=1\), trong trường hợp này, (1) cũng có nghiệm duy nhất (x = 1) \(\Rightarrow\) \(C_1\) và \(C_2\) có một giao điểm
* \(\Delta'>0\Leftrightarrow m>-\frac{3}{4}:\left(2\right)\) có 2 nghiệm phân biệt. Ta thấy \(t\left(1\right)=-4m-3\ne0\) với mọi \(m>-\frac{3}{4}\Rightarrow1\) không phải là nghiệm của (2) \(\Rightarrow\left(1\right)\) có 3 nghiệm phân biệt
\(\Rightarrow\) \(C_1\) và \(C_2\) có ba giao điểm
Kết luận :
- Với \(m\le-\frac{3}{4}\) \(C_1\) và \(C_2\) có một giao điểm
- Với \(m>-\frac{3}{4}\) \(C_1\) và \(C_2\) có 3 giao điểm
a. Tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ x = 1 có phương trình :
\(y=\left(m-2\right)\left(x-1\right)+3m-2=\left(m-2\right)x+3m\)
Yêu cầu của bài toán khi và chỉ khi \(\begin{cases}m-2=3\\2m\ne10\end{cases}\) vô nghiệm
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán
b. Ta có \(y'=3\left(x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}\right)+m-\frac{7}{3}=3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+m-\frac{7}{3}\)
Suy ra \(y'\ge m-\frac{7}{3}\)
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x=\frac{2}{3}\) có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc có giá trị \(k=m-\frac{7}{3}\)
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow k.2=-1\Leftrightarrow\left(m-\frac{7}{3}\right).2=-1\Leftrightarrow m=\frac{11}{6}\)
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\Delta_m\right)\) và \(\left(C_m\right)\) được viết thành :
\(\left(x+1\right)\left(x^2-3mx+2m^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-m\right)\left(x-2m\right)=0\)
\(\Rightarrow\) Giao điểm của \(\left(\Delta_m\right)\) và \(\left(C_m\right)\) gồm \(A\left(-1;-m-m^2\right);B\left(m;0\right)\) và \(C\left(2m;m^2\right)\), trong số đó, A là điểm duy nhất có hoành độ không đổi (khi m thay đổi)
Đặt \(f_m\left(x\right)=x^3-\left(3m-1\right)x^2+2m\left(m-1\right)x+m^2\)
Các tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) tại B và C lần lượt là các đường thẳng :
\(\left(\Delta_B\right):y=f_m'\left(x_B\right)x+y_b-f_m'\left(x_B\right)x_B\)
\(\left(\Delta_C\right):y=f_m'\left(x_C\right)x+y_C-f_m'\left(x_C\right)x_C\)
Ta cần tìm m để B và C cùng khác A và \(\Delta_B\backslash\backslash\Delta_C\), tức là :
\(\begin{cases}x_B\ne x_A\\x_C\ne x_A\\f'_m\left(x_B\right)=f'_m\left(x_C\right)\\y_B-f'_m\left(x_B\right)x_B\ne y_C-f'_m\left(x_C\right)x_C\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne-1\\m\ne-\frac{1}{2}\\-m^2=2m^2+2m\\m^3\ne-4m^3-3m^2\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m=-\frac{2}{3}\)
- Khi \(m=0\Rightarrow y=x-1\) nên hàm số không có cực trị
- Khi \(m\ne0\Rightarrow y'=3mx^2+6mx-\left(m-1\right)\)
hàm số không có cực trị khi và chỉ chỉ y' = 0 không có nghiệm hoặc có nghiệm kép
\(\Leftrightarrow\Delta'=9m^2+3m\left(m-1\right)=12m^2-3m\le0\) \(\Leftrightarrow0\le m\)\(\le\frac{1}{4}\)
Ta có : \(A\left(0;\frac{1}{3}\right)\) và \(y'=4x^2-2\left(2m+1\right)x+m+2\)
Suy ra \(y'\left(0\right)=m+2\)
Tiếp tuyến của d cắt Ox tại \(B\left(-\frac{1}{3m+6};0\right)\) (m=-2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán)
Khi đó diện tích của tam giác tạo bởi d với 2 trục tọa độ là :
\(S=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\left|\frac{-1}{3m+6}\right|=\frac{1}{18\left|m+2\right|}\)
Theo giả thiết ta có : \(\frac{1}{18\left|m+2\right|}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow\left|m+2\right|=\frac{1}{6}\)
\(\Leftrightarrow m=-\frac{13}{6}\) hoặc \(m=-\frac{11}{6}\)
Ta có : \(\left(C_1\right)\) và \(\left(C_2\right)\) tiếp xúc nhau <=> hệ phương trình sau có nghiệm :
\(\begin{cases}mx^3+\left(1-2m\right)x^2+2mx=3mx^3+3\left(1-2m\right)x+4m-2\\3mx^2+2\left(1-2m\right)x+2m=9mx^2+3\left(1-2m\right)\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}2mx^3-\left(1-2m\right)x^2+\left(3-8m\right)x+4m-2=0\left(1\right)\\6mx^2-2\left(1-2m\right)x+3-8m=0\left(2\right)\end{cases}\)
Ta có : \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2mx^2-\left(1-4m\right)x+4m+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\2mx^2-\left(1-4m\right)x-4m+2=0\end{array}\right.\)
* Với \(x=1\) thay vào (2), ta có \(m=\frac{1}{2}\)
* Với \(2mx^2-\left(1-4m\right)x-4m+2=0\) (*) ta có :
\(\left(2\right)\Leftrightarrow4mx^2-x+1-4m=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\x=\frac{1-4m}{4m}\end{array}\right.\) (\(m\ne0\) vì m = 0 hệ vô nghiệm)
Thay \(x=\frac{1-4m}{4m}\) vào (*) ta được :
\(\frac{\left(1-4m\right)^2}{8m}-\frac{\left(1-4m\right)^2}{4m}+2-4m=0\)
\(\Leftrightarrow48m^2-24m+1=0\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{3\pm\sqrt{6}}{12}\)
Vậy \(m=\frac{3\pm\sqrt{6}}{12};m=\frac{1}{2}\)