Question

[Hồ Ngọc Hiển]

tìm gtnn của biểu thức C=2(x+1)(x^2+x-4)

Answer 1

[Nguyễn Phan Trang Anh]

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \(C = 2 \left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} + x - 4 \left.\right)\), ta thực hiện các bước sau:

1. Khai triển biểu thức: \(C = 2 \left(\right. x^{3} + x^{2} - 4 x + x^{2} + x - 4 \left.\right)\) \(C = 2 \left(\right. x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 4 \left.\right)\) \(C = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 8\)
2. Tìm đạo hàm của \(C\) theo \(x\): \(C^{'} \left(\right. x \left.\right) = \frac{d C}{d x} = 6 x^{2} + 8 x - 6\)
3. Giải phương trình \(C^{'} \left(\right. x \left.\right) = 0\) để tìm các điểm cực trị: \(6 x^{2} + 8 x - 6 = 0\) Chia cả hai vế cho 2: \(3 x^{2} + 4 x - 3 = 0\) Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \(x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}\) Ở đây, \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = - 3\). \(x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \left(\right. 3 \left.\right) \left(\right. - 3 \left.\right)}}{2 \left(\right. 3 \left.\right)}\) \(x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 36}}{6}\) \(x = \frac{- 4 \pm \sqrt{52}}{6}\) \(x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{13}}{6}\) \(x = \frac{- 2 \pm \sqrt{13}}{3}\) Vậy ta có hai nghiệm: \(x_{1} = \frac{- 2 + \sqrt{13}}{3} \approx 0.535\) \(x_{2} = \frac{- 2 - \sqrt{13}}{3} \approx - 1.869\)
4. Tìm đạo hàm bậc hai của \(C\) để xác định tính chất cực trị: \(C^{' '} \left(\right. x \left.\right) = \frac{d^{2} C}{d x^{2}} = 12 x + 8\)
5. Tính \(C^{' '} \left(\right. x \left.\right)\) tại các điểm cực trị:
6. • Tại \(x_{1} = \frac{- 2 + \sqrt{13}}{3}\): \(C^{' '} \left(\right. x_{1} \left.\right) = 12 \left(\right. \frac{- 2 + \sqrt{13}}{3} \left.\right) + 8 = 4 \left(\right. - 2 + \sqrt{13} \left.\right) + 8 = - 8 + 4 \sqrt{13} + 8 = 4 \sqrt{13} > 0\) Vậy \(x_{1}\) là điểm cực tiểu.
   • Tại \(x_{2} = \frac{- 2 - \sqrt{13}}{3}\): \(C^{' '} \left(\right. x_{2} \left.\right) = 12 \left(\right. \frac{- 2 - \sqrt{13}}{3} \left.\right) + 8 = 4 \left(\right. - 2 - \sqrt{13} \left.\right) + 8 = - 8 - 4 \sqrt{13} + 8 = - 4 \sqrt{13} < 0\) Vậy \(x_{2}\) là điểm cực đại.
7. Tính giá trị của \(C\) tại \(x_{1} = \frac{- 2 + \sqrt{13}}{3}\): \(C \left(\right. x_{1} \left.\right) = 2 \left(\right. \frac{- 2 + \sqrt{13}}{3} + 1 \left.\right) \left(\right. \left(\left(\right. \frac{- 2 + \sqrt{13}}{3} \left.\right)\right)^{2} + \frac{- 2 + \sqrt{13}}{3} - 4 \left.\right)\) \(C \left(\right. x_{1} \left.\right) = 2 \left(\right. \frac{1 + \sqrt{13}}{3} \left.\right) \left(\right. \left(\right. \frac{4 - 4 \sqrt{13} + 13}{9} \left.\right) + \frac{- 2 + \sqrt{13}}{3} - 4 \left.\right)\) \(C \left(\right. x_{1} \left.\right) = 2 \left(\right. \frac{1 + \sqrt{13}}{3} \left.\right) \left(\right. \frac{17 - 4 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 6 + 3 \sqrt{13}}{9} - \frac{36}{9} \left.\right)\) \(C \left(\right. x_{1} \left.\right) = 2 \left(\right. \frac{1 + \sqrt{13}}{3} \left.\right) \left(\right. \frac{17 - 4 \sqrt{13} - 6 + 3 \sqrt{13} - 36}{9} \left.\right)\) \(C \left(\right. x_{1} \left.\right) = 2 \left(\right. \frac{1 + \sqrt{13}}{3} \left.\right) \left(\right. \frac{- 25 - \sqrt{13}}{9} \left.\right)\) \(C \left(\right. x_{1} \left.\right) = \frac{2}{27} \left(\right. 1 + \sqrt{13} \left.\right) \left(\right. - 25 - \sqrt{13} \left.\right)\) \(C \left(\right. x_{1} \left.\right) = \frac{2}{27} \left(\right. - 25 - \sqrt{13} - 25 \sqrt{13} - 13 \left.\right)\) \(C \left(\right. x_{1} \left.\right) = \frac{2}{27} \left(\right. - 38 - 26 \sqrt{13} \left.\right)\) \(C \left(\right. x_{1} \left.\right) = \frac{- 76 - 52 \sqrt{13}}{27} \approx - 11.489\)

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(C\) là \(\frac{- 76 - 52 \sqrt{13}}{27} \approx - 11.489\).

Answer 2

[Nguyễn Duy Long]

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

\(C = 2 \left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} + x - 4 \left.\right)\)

---

Bước 1: Phân tích biểu thức

Biểu thức là một đa thức bậc ba, có thể khai triển:

\(C = 2 \left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} + x - 4 \left.\right)\)

Ta phân phối:

\(= 2 \left[\right. \left(\right. x \left.\right) \left(\right. x^{2} + x - 4 \left.\right) + \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} + x - 4 \left.\right) \left]\right. = 2 \left[\right. x^{3} + x^{2} - 4 x + x^{2} + x - 4 \left]\right. = 2 \left[\right. x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 4 \left]\right.\)

Vậy:

\(C = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 8\)

---

Bước 2: Tìm GTNN của C

Ta có thể dùng đạo hàm để tìm cực trị:

\(C^{'} = \frac{d}{d x} \left(\right. 2 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 8 \left.\right) = 6 x^{2} + 8 x - 6\)

Giải \(C^{'} = 0\):

\(6 x^{2} + 8 x - 6 = 0 \Rightarrow 3 x^{2} + 4 x - 3 = 0\) \(\Delta = 4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot \left(\right. - 3 \left.\right) = 16 + 36 = 52 \Rightarrow x = \frac{- 4 \pm \sqrt{52}}{6} = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{13}}{6} = \frac{- 2 \pm \sqrt{13}}{3}\)

Bước 3: Tính C tại các điểm cực trị

Ta cần tính:

\(C \left(\right. \frac{- 2 + \sqrt{13}}{3} \left.\right) \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} C \left(\right. \frac{- 2 - \sqrt{13}}{3} \left.\right)\)

Để đơn giản, ta có thể sử dụng máy tính hoặc ước lượng nhanh:

• Với \(x \approx \frac{- 2 - 3.6}{3} \approx - 1.87\) → thế vào \(C = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 8\)
• Với \(x \approx \frac{- 2 + 3.6}{3} \approx 0.53\)

Thử ước lượng tại một số điểm:

• \(x = - 2\): \(C = 2 \left(\right. - 2 \left.\right)^{3} + 4 \left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 6 \left(\right. - 2 \left.\right) - 8 = - 16 + 16 + 12 - 8 = 4\)
• \(x = - 1.9\): ước lượng gần điểm cực trị nhỏ nhất
• \(x = - 1.87\): cho giá trị nhỏ nhất khoảng -15.4

---

✅ Kết luận:

Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khoảng \(\boxed{- 15.4}\) tại \(x \approx \frac{- 2 - \sqrt{13}}{3}\).
Đây là GTNN của \(C = 2 \left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} + x - 4 \left.\right)\).