Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a,\(A\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(x+y+z\right)}}=3\)=3
MInA=3<=>x=y=z=1
b)dùng cô si đi(đề thi chuyên bình phước năm 2016-2017)
\(P=\left(1+x\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)\) Nhân bung ra ghép cặp ,dùng cosy
\(P=1+\frac{1}{y}+x+\frac{x}{y}+1+\frac{1}{x}+y+\frac{y}{x}\)
\(P=2+\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)+\left(x+y\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge2+2\sqrt{\frac{1}{xy}}+2\sqrt{xy}+2\sqrt{\frac{xy}{ỹx}}.\) \(P=4+2\left(\sqrt{\frac{1}{xy}}\sqrt{xy}\right)\ge4+4\sqrt{\frac{xy}{xy}}=8.\). Dấu bằng trong các bất đẳng thức trên xẩy ra khi x = y , vì x2 + y2 = 1 và x , y dương nên : \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\) Khi đó P đạt giá trị nhỏ nhất Pmin = 8
Đính chính : Dòng thứ 4 từ trên xuông trong bài giải, viết đúng là \(P=4+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{\frac{1}{xy}}\right)\)
Ta co:
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+\left(z+\frac{1}{z}\right)^2\ge\frac{\left(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(1+\frac{9}{x+y+z}\right)^2}{3}=\frac{100}{3}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vay \(A_{min}=\frac{100}{3}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\) ; \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(P=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)+\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(=\left(x^2+y^2\right)+\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}\ge\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4^2}}=\frac{17}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y =1/2
Em không chắc em làm đúng không nhưng ra kết quả khác cô Chi. Sai thì cô bỏ qua cho em ạ
\(\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\). Dễ thấy \(0< xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=t+\frac{t}{t}\)trên \((0;\frac{1}{4}]\). Lấy t1<t2 \(\in(0;\frac{1}{4}]\)
Xét \(f\left(t_1\right)-f\left(t_2\right)=\left(t_1-t_2\right)\left(1-\frac{1}{t_1t_2}\right)\)Vì \(t_1;t_2\in(0;\frac{1}{4}]\Rightarrow1< \frac{1}{t_1t_2}\)
Từ đó dễ ràng nhận ra: \(f\left(t_1\right)-f\left(t_2\right)>0\)Vậy \(f\left(t\right)\)nghịch biến trên \((0;\frac{1}{4}]\)
Do đó mà \(f\left(\frac{1}{4}\right)\le f\left(t\right)\forall t\in(0;\frac{1}{4}]\). Hay \(\frac{17}{4}\le f\left(t\right)\forall t\in(0;\frac{1}{4}]\)
=> \(\frac{17}{4}\le xy+\frac{1}{xy}\Rightarrow\frac{287}{16}\le\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2=P\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\le1\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)
\(A=x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\)
\(A=x+\frac{1}{2x}+y+\frac{1}{2y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+2\)
\(A\ge2\sqrt{\frac{x}{2x}}+2\sqrt{\frac{y}{2y}}+2\sqrt{\frac{xy}{xy}}+\frac{1}{2}.\frac{4}{\left(x+y\right)}+2\)
\(A\ge4+2\sqrt{2}+\frac{2}{x+y}\ge4+2\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=4+3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow A_{min}=4+3\sqrt{2}\) khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)