Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: A = (x+z)(y+t) = xy+zy+xt+zt
Áp dụng BĐT Cô-si, có:
x^2 + y^2 >= 2xy
y^2 + z^2 >= 2yz
z^2 + t^2 >= 2zt
t^2 + x^2 >= 2yt
=> 2(xy+yz+zt+tx) <= 2(x^2+y^2+z^2+t^2)
=>xy+yz+zt+tx <= x^2+y^2+z^2+t^2 = 1
Vậy max A = 1 khi x^2=y^2=z^2=t^2=1/4
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm ta có:
\(\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}y^2\geq 2.\sqrt{\frac{2}{3}x^2.\frac{2}{3}y^2}=2|\frac{2}{3}xy|\geq \frac{4}{3}xy\)
\(\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}t^2\geq 2|\frac{2}{3}xt|\geq \frac{4}{3}xt\)
\(\frac{1}{3}y^2+\frac{4}{3}z^2\geq 2|\frac{2}{3}yz|\geq \frac{4}{3}yz\)
\(\frac{2}{3}z^2+\frac{2}{3}t^2\geq 2|\frac{2}{3}zt|\geq \frac{4}{3}zt\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\Rightarrow x^2+y^2+2z^2+2t^2\geq \frac{4}{3}(xy+xt+yz+zt)\)
\(\Leftrightarrow 1\geq \frac{4}{3}(x+z)(y+t)\)
\(\Leftrightarrow A=(x+z)(y+t)\leq \frac{3}{4}\)
Vậy \(A_{\max}=\frac{3}{4}\)
d)Áp dụng BĐT AM-GM
\(x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\)
\(y^2+4\ge2\sqrt{4y^2}=4y\)
\(z^2+9\ge2\sqrt{9z^2}=6z\)
Nhân theo vế ta có:
\(VT=\left(x^2+1\right)\left(y^2+4\right)\left(z^2+9\right)\ge2x\cdot4y\cdot6z=48xyz=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+1=2x\\y^2+4=4y\\z^2+9=6z\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=0\\\left(z-3\right)^2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=3\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=3\end{matrix}\right.\)
e)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x+1\ge2\sqrt{x}\)
\(y+1\ge2\sqrt{y}\)
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
Nhân theo vế ta có:
\(VT=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(x+y\right)\ge2\sqrt{x}\cdot2\sqrt{x}\cdot2\sqrt{xy}=8xy=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\sqrt{x}\\y+1=2\sqrt{y}\\x+y=2\sqrt{xy}\left(x+y\ge0\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x=y=0\)
Ta có: A = (x+z)(y+t) = xy+zy+xt+zt
Áp dụng BĐT Cô-si, có:
x^2 + y^2 >= 2xy
y^2 + z^2 >= 2yz
z^2 + t^2 >= 2zt
t^2 + x^2 >= 2yt
=> 2(xy+yz+zt+tx) <= 2(x^2+y^2+z^2+t^2)
=>xy+yz+zt+tx <= x^2+y^2+z^2+t^2 = 1
Vậy max A = 1 khi x^2=y^2=z^2=t^2=1/4