TD
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
2 tháng 2 2020
Tìm max:
Áp đụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(\left(x+y\right)+z\le\frac{\left(x+y\right)^2+1}{2}+\frac{z^2+1}{2}=\frac{x^2+y^2+z^2+2xy+2}{2}=2+xy\)
Chứng minh tương tự ta có: \(2+xz\ge x+y+z;2+yz\ge x+y+z\)
Từ trên ta lại có: \(P=\frac{x}{2+yz}+\frac{y}{2+zx}+\frac{z}{2+xy}\le\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=1\\z=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow Max_P=1\)
Tìm Min
Áp BĐT Cauchy - Schwaz ta có:
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)+3xyz}\left(1\right)\)
Đặt \(t=x+y+z\left(\sqrt{2}\le t\le\sqrt{6}\right)\)
Mặt khác ta có: \(9xyz\le\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)=\frac{t\left(t^2-2\right)}{2}\)
Kết hợp với \(\left(1\right)\Rightarrow P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)+3xyz}\ge\frac{6t}{t^2+10}\) Luôn đúng với \(\sqrt{2}\le t\le\sqrt{6}\)
Dấu đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi \(\hept{\begin{cases}x=\sqrt{2}\\y=z=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow Min_P=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Vậy ...........
7 tháng 2 2020
Bạn Băng Băng ơi, BD9T AM - GM là bất đẳng thức Cô - si đúng không bạn ?
NB
1
TN
29 tháng 7 2017
Ta có: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}=\sqrt{x^2+xy+\frac{y^2}{4}+\frac{3y^2}{4}}=\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}}\)
Tương tự ta viết lại A và áp dụng BĐT Mipcopxki :
\(A=\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}}+\sqrt{\left(y+\frac{z}{2}\right)^2+\frac{3z^2}{4}}+\sqrt{\left(z+\frac{x}{2}\right)^2+\frac{3x^2}{4}}\)
\(=\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}y}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(y+\frac{z}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}z}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(z+\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}x}{2}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(\frac{3\left(x+y+z\right)}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}\left(x+y+z\right)}{2}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(\frac{3\cdot3}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}\cdot3}{2}\right)^2}=\sqrt{27}\)
Xảy ra khi x=y=z=1
23 tháng 9 2017
ta có:
\(S\ge\frac{x^3}{x^2+y^2+\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac{y^3}{y^2+z^2+\frac{y^2+z^2}{2}}+\frac{z^3}{z^2+x^2+\frac{z^2+x^2}{2}}\)
\(\Rightarrow S\ge\frac{2x^3}{3\left(x^2+y^2\right)}+\frac{2y^3}{3\left(y^2+z^2\right)}+\frac{2z^3}{3\left(z^2+x^2\right)}\Rightarrow\frac{3}{2}S\ge P=\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\)
\(\Rightarrow P=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}+y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}+z-\frac{zx^2}{z^2+x^2}\ge\left(x+y+z\right)-\left(\frac{xy^2}{2xy}+\frac{yz^2}{2yz}+\frac{zx^2}{2xz}\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)-\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}S\ge\frac{9}{2}\Rightarrow S\ge3\)
Vậy Min S=3 khi x=y=z=3
LH
23 tháng 9 2017
hok lp 6 000000000000 biet toan lp 9 dau ma lm , tk di , giai cho
LC
17 tháng 9 2018
\(P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+xz}+\frac{1}{1+yz}\ge\frac{9}{3+xy+xz+yz}\)
Lại có :\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\le3\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{9}{3+3}=1.5\)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
KK
31 tháng 1 2017
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 bộ số thực không âm:
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\\\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2}\\\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo từng vế:
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}\)
\(\Rightarrow1\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}\)
\(\Rightarrow1\le x+y+z\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{x+y+z}{2}\) ( 1 )
Ta có: \(A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số:
\(\Rightarrow A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)
\(\Rightarrow A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{x+y+z}{2}\) ( 2 )
Từ điều ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{x+y+z}{2}\le\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)
Vậy GTNN của \(A=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
13 tháng 3 2019
a, Sửa đề \(x+y+z\le2+xy\)
Áp dụng bđt Cô-si có :
\(\left(x+y\right)+z\le\frac{\left(x+y\right)^2+1}{2}+\frac{z^2+1}{2}=\frac{x^2+2xy+y^2+1+z^2+1}{2}\)
\(=\frac{4+2xy}{2}\)
\(=2+xy\)
Dấu "=" khi x = 0 ; y = 1 ; z = 1
b,C/m tương tự câu a có \(x+y+z\le2+yz\)
\(x+y+z\le2zx\)
Ta có : \(P=\frac{x}{2+yz}+\frac{y}{2+zx}+\frac{z}{2+xy}\le\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\)
\(=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)
Dấu "=" khi x = 0 ; y = 1 ; z = 1
+) Tìm GTNN
Đặt t = x + y + z
=> t2 = (x + y+ z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 3 + 2(xy + yz+ zx) => xy + yz + zx = (t2 - 3)/2
Khi đó, A = t + \(\frac{t^2-3}{2}\) = \(\frac{t^2+2t-3}{2}=\frac{\left(t+1\right)^2-4}{2}\ge\frac{0-4}{2}=-2\)
=> Min A = -2
Dấu "=" xảy ra khi t = - 1 <=> x + y + z = - 1. kết hợp x2 + y2 + z2 = 3 chọn x = 1;y = -1; z = -1
Vậy....
tìm GTLN nè:
ab+bc+ca\(\le\)(a+b+c)^2/3
mặt khác :
(a+b+c)^2\(\le\)3(a^2+b^2+c^2)=9
=> A=<3+3=6 khi a=b=c=1