Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: A = (x+z)(y+t) = xy+zy+xt+zt
Áp dụng BĐT Cô-si, có:
x^2 + y^2 >= 2xy
y^2 + z^2 >= 2yz
z^2 + t^2 >= 2zt
t^2 + x^2 >= 2yt
=> 2(xy+yz+zt+tx) <= 2(x^2+y^2+z^2+t^2)
=>xy+yz+zt+tx <= x^2+y^2+z^2+t^2 = 1
Vậy max A = 1 khi x^2=y^2=z^2=t^2=1/4
Lời giải:
Biểu thức $P$ chỉ có min chứ không có max bạn nhé.
Nếu tìm min thì ta làm như sau:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có:
$x^2+(\frac{3}{14})^2\geq 2\sqrt{x^2.(\frac{3}{14})^2}=\frac{3}{7}|x|\geq \frac{3}{7}x$
$y^2+(\frac{1}{14})^2\geq \frac{1}{7}|y|\geq \frac{1}{7}y$
$z^2+(\frac{1}{7})^2\geq \frac{2}{7}|z|\geq \frac{2}{7}z$
Cộng theo vế và thu gọn ta thu được:
$P+\frac{1}{14}\geq \frac{1}{7}(3x+y+2z)=\frac{1}{7}$
$\Rightarrow P\geq \frac{1}{14}$
Vậy $P_{\min}=\frac{1}{14}$
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(\frac{3}{14}, \frac{1}{14}, \frac{1}{7})$
Tại sao lại ra những con số như trên, bạn tham khảo thêm phương pháp chọn điểm rơi trong BĐT AM-GM.
Chủ trương bài dễ làm trước:D
Bài 2:
\(Q\left(y\right)=-y^2+5y+1=-\left(y^2-5y-1\right)\)
\(=-\left(y^2-2.y.\frac{5}{2}+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}-1\right)\)
\(=-\left(y-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{29}{4}\le\frac{29}{4}\)
"=" <=> y = 5/2
\(Q\left(z\right)=\left(z+2\right)^2-\left(2z-1\right)^2\)
Khai triển ra: \(Q\left(z\right)=-3z^2+8z+3=-3\left(z^2-2.\frac{8}{6}z-1\right)\)
\(=-3\left(z^2-2.z.\frac{8}{6}+\frac{16}{9}-\frac{16}{9}-1\right)\)
\(=-3\left(z-\frac{8}{6}\right)^2+\frac{25}{3}\le\frac{25}{3}\)
"=" <=> z = 8/6 = 4/3
A = \(\left(x+z\right)\left(y+t\right)\)
A = xy + xt + yz + zt
Áp dụng BĐT Cô - si : a2 + b2 ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0)
Ta có : x2 + y2 ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0) ( 1)
x2 + t2 ≥ 2xt ( x > 0 ; t > 0) ( 2)
y2 + z2 ≥ 2yz ( y > 0 ; z > 0) ( 3)
z2 + t2 ≥ 2zt ( z > 0 ; t > 0) ( 4)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ; 4 )
⇒ 2A ≤ 2( x2 + y2 + z2 + t2)
⇔ A ≤ 1
⇒ AMAX = 1 ⇔ x = y = z = t = +- \(\dfrac{1}{2}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm ta có:
\(\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}y^2\geq 2.\sqrt{\frac{2}{3}x^2.\frac{2}{3}y^2}=2|\frac{2}{3}xy|\geq \frac{4}{3}xy\)
\(\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}t^2\geq 2|\frac{2}{3}xt|\geq \frac{4}{3}xt\)
\(\frac{1}{3}y^2+\frac{4}{3}z^2\geq 2|\frac{2}{3}yz|\geq \frac{4}{3}yz\)
\(\frac{2}{3}z^2+\frac{2}{3}t^2\geq 2|\frac{2}{3}zt|\geq \frac{4}{3}zt\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\Rightarrow x^2+y^2+2z^2+2t^2\geq \frac{4}{3}(xy+xt+yz+zt)\)
\(\Leftrightarrow 1\geq \frac{4}{3}(x+z)(y+t)\)
\(\Leftrightarrow A=(x+z)(y+t)\leq \frac{3}{4}\)
Vậy \(A_{\max}=\frac{3}{4}\)