Question

[Nguyễn Quỳnh Trang]

Tìm giới hạn của dãy số \(u_n=\frac{1+3+3^2...+3^n}{1+4+4^2...+4^n}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Sử dụng công thức tổng cấp số nhân:

\(1+3+3^2+...+3^n=\frac{3^{n+1}-1}{3-1}=\frac{3^{n+1}-1}{2}\)

\(1+4+...+4^n=\frac{4^{n+1}-1}{3}\)

\(\Rightarrow u_n=\frac{3\left(3^{n+1}-1\right)}{2\left(4^{n+1}-1\right)}=\frac{3.3^{n+1}-3}{2.4^{n+1}-2}\)

\(\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\frac{3.3^{n+1}-3}{2.4^{n+1}-2}=\frac{3.\left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}-3\left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}}{2-2.\left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}}=\frac{0}{2}=0\)