Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2. \(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{1+\frac{2}{a}}+\frac{1}{1+\frac{2}{b}}+\frac{1}{1+\frac{2}{c}}\ge1\)
Đặt\(\frac{2}{a}=x;\frac{2}{b}=y;\frac{2}{c}=z\)thì \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xyz=8\end{cases}}\)
Ta cần chứng minh \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge1\Leftrightarrow\left(yz+y+z+1\right)+\left(zx+z+x+1\right)+\left(xy+x+y+1\right)\ge xyz+\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)+1\)\(\Leftrightarrow x+y+z\ge6\)(Đúng vì \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=6\))
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2 hay a = b = c = 1
3. Ta có: \(a+b+c\le\sqrt{3}\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\)
Ta có đánh giá quen thuộc \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
Từ đó suy ra \(ab+bc+ca\le1\)
\(A=\frac{\sqrt{a^2+1}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{a+b}\ge\frac{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}{a+b}\)\(=\frac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{b+c}+\frac{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}{c+a}+\frac{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=3\)Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Từ giả thiết ta dễ thấy dấu "=" xảy ra khi a=1, b=3, c=5
Áp dụng BĐT Cauchy Schawrz, ta có:
\(a^2+\frac{b^2}{3}+\frac{c^2}{5}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+3+5}\Rightarrow2\sqrt{a^2+\frac{b^2}{3}+\frac{c^2}{5}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{9}{b}+\frac{25}{c}\ge\frac{\left(1+3+5\right)^2}{a+b+c}\Rightarrow3\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{9}{b}+\frac{25}{c}}\ge\frac{27}{\sqrt{a+b+c}}\)
Từ đó, suy ra
\(A\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}+\frac{27}{\sqrt{a+b+c}}=\frac{a+b+c}{6}+\frac{a+b+c}{2}+\frac{27}{2\sqrt{a+b+c}}+\frac{27}{2\sqrt{a+b+c}}\ge\frac{9}{6}+3\sqrt[3]{\frac{729}{8}}=15\)
Dấu "=" xảy ra khi a=1, b=3, c=5
Mong là không có gì sai sót!
Bài này dễ ẹc, cho tí não vào là ok
Giải
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\) khi đó ta tìm dc \(S=2\)
Ta sẽ chứng minh nó là GTNN của \(S\)
Thật vậy, theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(Σ\frac{a^2+b}{b+c}\ge\frac{\left(Σa^2+1\right)^2}{Σa^2\left(b+c\right)+Σa^2+Σab}\)
Vậy ta chỉ cần chứng minh rằng \(\frac{\left(Σa^2+1\right)^2}{Σa^2\left(b+c\right)+Σa^2+Σab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow1+\left(Σa^2\right)^2\ge2Σa^2\left(b+c\right)+2Σab\)
BĐT cuối cùng có thể biến đổi như sau:
\(1+\left(Σa^2\right)^2\ge2Σa^2\left(b+c\right)+2Σab\)
\(\Leftrightarrow1+\left(Σa^2\right)^2\ge2Σa^2-2Σa^3+2Σab\)
\(\Leftrightarrow\left(Σa^2\right)^2+2Σa^3\geΣa^2\) điều này đúng, vì
\(Σa^3\ge\frac{Σa^2}{3}\)(BĐT Chebyshev). Và \(\left(Σa^2\right)^2\ge\frac{Σa^2}{3}\)
a) ta có \(S=a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có \(a+\frac{1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{4a}}=2.\frac{1}{2}=1\)
tương tự ta có \(b+\frac{1}{4b}\ge1;c+\frac{1}{4c}\ge1\)
=> \(a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}\ge3\)
mặt khác Áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}}=6\) (vì a+b+c<=3/2)
cộng từng vế ta có \(S\ge9\)
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/2
câu 2 tương tự
chết quên khi mà cậu dùng svác sơ xong thì cậu phải nhân thêm 3/4 nữa rồi mới cộng vào để tính Smin
Bài 1
Cho a , b , c > 0 . CM : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(a+b\right)\left(b+c\right)\le\frac{a\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{b}+\frac{b\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{c}+\frac{c\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a}\)
\(=\frac{a^2c}{b}+a^2+ab+ac+\frac{b^2\left(a+b\right)}{c}+b^2+ab+c^2+bc+\frac{cb\left(b+c\right)}{a}\)
Mặt khác : \(\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(a+b\right)\left(b+c\right)=a^2+ac+c^2+3b^2+3ab+3bc\)
Do đó ta cần chứng minh :
\(\frac{a^2c}{b}+\frac{b^2\left(a+b\right)}{c}+\frac{cb\left(b+c\right)}{a}\ge2b^2+2bc+ab\left(2\right)\)
\(VT=\frac{a^2c}{b}+\frac{b^2\left(a+b\right)}{c}+\frac{cb\left(b+c\right)}{a}=\frac{1}{2}\left(\frac{a^2c}{b}+\frac{b^3}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{a^2c}{b}+\frac{c^2b}{a}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b^3}{c}+\frac{c^2b}{a}\right)+b^2\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)
\(\ge ab+\sqrt{ac^3}+\sqrt{\frac{b^4c}{a}}+2b^2\ge ab+2bc+2b^2=VP\)
Dấu " = " xảy ra khi a=b=c
Bài 2 :
Vì x , y , z > 0 ta có :
Áp dụng BĐT Cô - si đối với 2 số dương \(\frac{x^2}{y+z}\) và \(\frac{y+z}{4}\)
ta được :
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=2.\frac{x}{2}=x\left(1\right)\) .
Tương tự ta cũng có :
\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\left(2\right);\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\left(3\right)\)
Cộng theo vế (1) , (2) và (3) ta được :
\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\Rightarrow P\ge\left(x+xy+z\right)-\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
Vậy \(P=1\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
1. Áp dụng Min - cốp - ski, ta được: \(\sqrt{\frac{9}{\left(a+b\right)^2}+c^2}+\sqrt{\frac{9}{\left(b+c\right)^2}+a^2}+\sqrt{\frac{9}{\left(c+a\right)^2}+b^2}\)\(\ge\sqrt{\left(\frac{3}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{3}{c+a}\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\)\(\ge\sqrt{\left(\frac{27}{2\left(a+b+c\right)}\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\)(Bunyakovsky dạng phân thức)
Đặt \(t=a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)thì ta cần chứng minh: \(\sqrt{\frac{729}{4t^2}+t^2}\ge\frac{3\sqrt{13}}{2}\Leftrightarrow\frac{729}{4t^2}+t^2\ge\frac{117}{4}\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(t+3\right)\left(t-3\right)\left(2t+9\right)\left(2t-9\right)}{4t^2}\ge0\)*đúng bởi \(t-3\le0;t+3>0;2t+9>0;2t-9< 0;4t^2>0\)*
Đẳng thức xảy ra khi t = 3 hay a = b = c = 1
2. Ta có: \(\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3=\frac{\left(x^2-y^2\right)^2\left(x^4+y^4+x^2y^2\right)}{x^2y^2\left(x^2+y^2\right)^2}\ge0\)\(\Rightarrow\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge3\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y
dat bt tren la A . ap bdt bunhiacopxki ta co (a+b+c)^2 = ( a/(can1+c^2) . (can1+c^2) + b/(can1+a^2) . (can1+a^2) +c/(can1+b^2) . (can1+b^2) )^2 <= A(1 + c^2 + 1 + a^2 +1 + b^2) ... 0 <= A(3+a^2+b^2+c^2) ...nen 0<=A vì a,b,c>0 nen(3+a^2+b^2+c^2)>0 vay minA=0 khi a=b=c=0