Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)=x^4y^4+x^4+y^4+1\)
Ta có \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=10-2xy\)
\(\Rightarrow x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=\left(10-2xy\right)^2-2x^2y^2=100-40xy+2x^2y^2\)
\(\Rightarrow P=\left(xy\right)^4+101-40xy+2x^2y^2\)
\(=\left[\left(xy\right)^4-8\left(xy\right)^2+16\right]+10\left[\left(xy\right)^2-4xy+4\right]+45\)
\(=\left(x^2y^2-4\right)^2+10\left(xy-2\right)^2+45\)
\(\Rightarrow P\ge45\)
Dấu "=" xảy ra khi xy=2
Lại có \(x+y=\sqrt{10}\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{10}-y\Rightarrow xy=\sqrt{10}y-y^2=2\)
\(\Rightarrow y^2-\sqrt{10y}+2=0\)
Ta có \(\Delta=10-8=2\)
\(\Rightarrow y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 45 khi \(\hept{\begin{cases}x=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\\y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\end{cases}}\)
\(K=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}+24xy-20xy\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+12-\frac{20\left(x+y\right)^2}{4}=11\)
Check xem có sai chỗ nào ko:v
Trời! Chứng minh vậy đọc ai hiểu được chời :)))
Vì \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}=\frac{1^2}{x^2+y^2}+\frac{1^2}{2xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+2xy+y^2}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\frac{3}{2xy}+24xy\ge2\sqrt{\frac{3}{2xy}.24xy}=12\)
Lại quên dấu bằng xảy ra kìa em.
"=" xảy ra <=> x=y=1/2
Bài này nhiều bạn đăng rồi, vô lục câu hỏi của CTV Lê Tài Bảo Châu đó, kéo xuống là thấy.
x,y>0 => theo bdt AM-GM thì x+y >/ 2 căn (xy)=2 , x^2+y^2 >/ 2xy=2 (do xy=1)
P=(x+y+1)(x^2+y^2)+4/(x+y)
>/ 2(x+y+1)+4/(x+y)=[(x+y)+4/(x+y)]+(x+y+2)
x,y>0=>x+y>0 => theo bdt AM-GM thì P >/ 2.2+2+2=8
minP=8
Dự đoán \(M\) đạt min tại mỗi biến bằng \(\frac{2}{3}\).
Nên ta viết lại \(M=\left(x+\frac{4}{9x}\right)+\left(y+\frac{4}{9y}\right)+\frac{5}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho hai lượng đầu và BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:
\(M\ge\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{5}{9}.\frac{4}{x+y}\ge\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{5}{9}.\frac{4}{\frac{4}{3}}=\frac{13}{3}\)
Vì \(x^4\ge0\forall x;y^4\ge0\forall y\)
\(\Rightarrow P\ge0\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x^4+y^4=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^4=0\\y^4=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=0}\)
Vậy \(P_{min}=0\Leftrightarrow x=y=0\)
Bạn ơi x,y nguyên dương nhé