Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+2m\sqrt{x\left(1-x\right)}-2\sqrt[4]{x\left(1-x\right)}=m^3\)
Câu a. Giả sử có m thỏa mãn đề bài, khi đó sẽ có số \(a\ge0\)để \(\sqrt{1-x^2}=a\)hay \(1-x^2=a^2\)
Suy ra: \(x^2=1-a^2\).
Nếu a > 1 thì không có x thỏa mãn.
Nếu a = 1 thì x = 0 ( duy nhất).
Nếu \(0\le a< 1\)thì \(x=\sqrt{1-a^2}\)hoặc \(x=-\sqrt{1-a^2}\). Rõ ràng hai giá trị này là phân biệt.
Vậy chỉ khi a = 1 thì x = 0 duy nhất. Khi đó m = 3 .
Ngược lại thay m = 3 vào phương trình ta có: \(\sqrt{1-x^2}+2\sqrt[3]{1-x^2}=3.\)
Đặt \(1-x^2=a^6\), thay vào phương trình ban đầu ta có:
\(a^3+2a^2=3\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2-a+3\right)=0\)
Vậy a = 1 hay \(1-x^2=1\)suy ra x = 0 là nghiệm duy nhất.
Câu b ta đặt: \(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=a\)sau đó bình phương hai vế lên ta được 1 phương trình bậc hai theo tham số a.
Dùng điều kiện \(\Delta=0\)ta sẽ tìm được a.
\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)^2=1-x^2\)
\(\Leftrightarrow2x^2-2mx+m^2-1=0\)
có \(\Delta'=m^2-2\left(m^2-1\right)=2-m^2\)
phương trình có nghiệm duy nhất khi \(\Delta'=0\)<=> 2-m^2=0 <=> m \(\in\left\{\sqrt{2},-\sqrt{2}\right\}\)
vậy...
\(\sqrt{4-\left(2-x\right)+\sqrt{2-x}}+\sqrt{4-x-\sqrt{x}}=m\) (1)
- Xét điều kiện cần:
Giả sử phương trình có nghiệm \(x_0\) tức là:
\(\sqrt{4-\left(2-x_0\right)+\sqrt{2-x_0}}+\sqrt{4-x_0+\sqrt{x_0}}=m\) (2)
Thì ta thấy phương trình cũng có nghiệm \(x=2-x_0\), thực vậy, thay \(x=2-x_0\) vào (1) ta được:
\(\sqrt{4-\left(2-\left(2-x_0\right)\right)+\sqrt{2-\left(2-x_0\right)}}+\sqrt{4-\left(2-x_0\right)-\sqrt{2-x_0}}=m\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4-x_0+\sqrt{x_0}}+\sqrt{4-\left(2-x_0\right)+\sqrt{2-x_0}}=m\) (thỏa mãn (2))
Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất thì: \(x_0=2-x_0\Rightarrow x_0=1\)
Thay \(x_0=1\) vào (2) ta được: \(m=4\)
- Điều kiện đủ: khi \(m=4\) phương trình trở thành:
\(\sqrt{x+2+\sqrt{2-x}}+\sqrt{4-x+\sqrt{x}}=4\)
Áp dụng BĐT Bunhia cho vế trái:
\(VT\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(6+\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\right)}=\sqrt{2\left(6+\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\sqrt{2\left(6+\sqrt{\left(1+1\right)\left(x+2-x\right)}\right)}=\sqrt{2\left(6+2\right)}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2-x\\x+2+\sqrt{2-x}=4-x+\sqrt{x}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=1\)
Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=1\) khi \(m=4\)