Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta luôn có \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}-\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\ge0\forall a;b\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge\dfrac{2}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(a+b\right)}{ab}\ge\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{2\left(a+b\right)}{ab}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(\sqrt{2}\left(\sqrt{\dfrac{a+b}{ab}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{bc}}+\sqrt{\dfrac{a+c}{ac}}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{a+b}{ab}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{bc}}+\sqrt{\dfrac{a+c}{ac}}\ge\sqrt{\dfrac{2}{a}}+\sqrt{\dfrac{2}{b}}+\sqrt{\dfrac{2}{c}}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)
Ta có: \(\sqrt{a+bc}=\sqrt{\dfrac{a^2+abc}{a}}=\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}}\)
thiết lập tương tự ,bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}}\ge\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge abc+\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge abc+\sum a\sqrt{bc}\)
Điều này luôn đúng theo BĐT Bunyakovsky:
\(\sum\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge\sum\left(bc+a\sqrt{bc}\right)=abc+\sum a\sqrt{bc}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=3
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT=\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{3}{\sqrt{b}}+\dfrac{8}{\sqrt{3c+2a}}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{2}{\sqrt{b}}+\dfrac{8}{\sqrt{3c+2a}}\)
\(\ge\dfrac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{2\left(1+2\right)^2}{\sqrt{3c+2a}+\sqrt{b}}\)
\(=\dfrac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{\left(1+2\right)^2}{\sqrt{3c+2a}+\sqrt{b}}+\dfrac{\left(1+2\right)^2}{\sqrt{3c+2a}+\sqrt{b}}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+2+1+2+2\right)^2}{2\sqrt{3c+2a}+3\sqrt{b}+\sqrt{a}}\)
\(\ge\dfrac{64}{\sqrt{\left(1+2^2+3\right)\left(a+2a+3c+3b\right)}}\)
\(=\dfrac{64}{\sqrt{24\left(a+c+b\right)}}=\dfrac{16\sqrt{2}}{\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}=VP\)
Bài 1:
a)
\(\sin ^2x+\sin ^2x\cot^2x=\sin ^2x(1+\cot^2x)=\sin ^2x(1+\frac{\cos ^2x}{\sin ^2x})\)
\(=\sin ^2x.\frac{\sin ^2x+\cos^2x}{\sin ^2x}=\sin ^2x+\cos^2x=1\)
b)
\((1-\tan ^2x)\cot^2x+1-\cot^2x\)
\(=\cot^2x(1-\tan^2x-1)+1=\cot^2x(-\tan ^2x)+1=-(\tan x\cot x)^2+1\)
\(=-1^2+1=0\)
c)
\(\sin ^2x\tan x+\cos^2x\cot x+2\sin x\cos x=\sin ^2x.\frac{\sin x}{\cos x}+\cos ^2x.\frac{\cos x}{\sin x}+2\sin x\cos x\)
\(=\frac{\sin ^3x}{\cos x}+\frac{\cos ^3x}{\sin x}+2\sin x\cos x=\frac{\sin ^4x+\cos ^4x+2\sin ^2x\cos ^2x}{\sin x\cos x}=\frac{(\sin ^2x+\cos ^2x)^2}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}\)
\(=\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}=\frac{2}{\sin 2x}\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có:
\(P=\frac{a^2}{\sqrt{a(2c+a+b)}}+\frac{b^2}{\sqrt{b(2a+b+c)}}+\frac{c^2}{\sqrt{c(2b+c+a)}}\)
\(\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{a(2c+a+b)}+\sqrt{b(2a+b+c)}+\sqrt{c(2b+c+a)}}(*)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\((\sqrt{a(2c+a+b)}+\sqrt{b(2a+b+c)}+\sqrt{c(2b+c+a)})^2\leq (a+b+c)(2c+a+b+2a+b+c+2b+c+a)\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{a(2c+a+b)}+\sqrt{b(2a+b+c)}+\sqrt{c(2b+c+a)})^2\leq 4(a+b+c)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{a(2c+a+b)}+\sqrt{b(2a+b+c)}+\sqrt{c(2b+c+a)}\leq 2(a+b+c)(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow P\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
*, \(A< 1\Rightarrow\dfrac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}-2}< 1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}-2}-1< 0\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{a}-4-1\left(\sqrt{a}-2\right)}{\sqrt{a}-2}< 0\Leftrightarrow\dfrac{-2}{\sqrt{a}-2}< 0\)Do -2<0 nên \(\sqrt{a}-2>0\Leftrightarrow a>4\)
Vậy \(a>4\) thì A<1. câu sau cmtt
\(B=\dfrac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}+1}< 0\)
Đk do a trong căn\(\Rightarrow a\ge0\Rightarrow\sqrt{a}+1\ge1\)
do B<0 mà mẫu dương nên tử số phải âm hay\(\sqrt{a}-2>0\Leftrightarrow a>4\)
vậy a>4 thì B<0
Mẫu là abc nó lại khác nó dễ hơn thế này nhiều vì khi đó mẫu và tử sẽ hết abc
\(P=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\cdot\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
=a-b
=8căn 5-căn 5
=7 căn 5