Question

[trần doãn thành]

Tìm đa thức f(x) bậc 3 có hệ số cao nhất là số nguyên dương. Biết:

f(1999)=2000;

f(2000)=2001.

Chứng minh : f(2001)-f(1998) là hợp số

Answer 1

[Xuân Dũng Đào]

1. Đặt dạng đa thức
   Giả sử

\(f \left(\right. x \left.\right) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d , a \in \mathbb{Z}^{+} , \textrm{ } b , c , d \in \mathbb{R} .\)

1. Dùng điều kiện đề bài
   Ta có:

\(f \left(\right. 2000 \left.\right) - f \left(\right. 1999 \left.\right) = \left(\right. 2001 - 2000 \left.\right) = 1.\)

Nhưng

\(f \left(\right. 2000 \left.\right) - f \left(\right. 1999 \left.\right) = a \left(\right. 2000^{3} - 1999^{3} \left.\right) + b \left(\right. 2000^{2} - 1999^{2} \left.\right) + c \left(\right. 2000 - 1999 \left.\right) .\)

• \(2000^{3} - 1999^{3} = \left(\right. 2000 - 1999 \left.\right) \left(\right. 2000^{2} + 2000 \cdot 1999 + 1999^{2} \left.\right) .\)

\(= 1 \cdot \left(\right. 2000^{2} + 2000 \cdot 1999 + 1999^{2} \left.\right) .\)

Tính:

\(2000^{2} = 4,000,000 , 2000 \cdot 1999 = 3,998,000 , 1999^{2} = 3,996,001.\)

Tổng = \(11,994,001\).
\(\Rightarrow 2000^{3} - 1999^{3} = 11,994,001.\)

• \(2000^{2} - 1999^{2} = \left(\right. 2000 - 1999 \left.\right) \left(\right. 2000 + 1999 \left.\right) = 1 \cdot 3999 = 3999.\)
• \(2000 - 1999 = 1.\)

Vậy:

\(f \left(\right. 2000 \left.\right) - f \left(\right. 1999 \left.\right) = 11,994,001 a + 3999 b + c = 1. \left(\right. 1 \left.\right)\)

1. Tính hiệu cần chứng minh

\(f \left(\right. 2001 \left.\right) - f \left(\right. 1998 \left.\right) = ?\)

Tính từng phần:

\(2001^{3} - 1998^{3} = \left(\right. 2001 - 1998 \left.\right) \left(\right. 2001^{2} + 2001 \cdot 1998 + 1998^{2} \left.\right) .\) \(= 3 \cdot \left(\right. 2001^{2} + 2001 \cdot 1998 + 1998^{2} \left.\right) .\)

• \(2001^{2} = 4,004,001 ,\)
• \(2001 \cdot 1998 = 3,996, - k i ể m t r a\)

\(2001 \cdot 1998 = 2001 \cdot \left(\right. 2000 - 2 \left.\right) = 2001 \cdot 2000 - 4002 = 4,002,000 - 4002 = 3,997,998.\)

• \(1998^{2} = \left(\right. 2000 - 2 \left.\right)^{2} = 4,000,000 - 8000 + 4 = 3,992,004.\)

Cộng: \(4,004,001 + 3,997,998 + 3,992,004 = 11,994,003.\)

Vậy:

\(2001^{3} - 1998^{3} = 3 \cdot 11,994,003 = 35,982,009.\)

Tương tự:

\(2001^{2} - 1998^{2} = \left(\right. 2001 - 1998 \left.\right) \left(\right. 2001 + 1998 \left.\right) = 3 \cdot 3999 = 11,997.\) \(2001 - 1998 = 3.\)

Vậy:

\(f \left(\right. 2001 \left.\right) - f \left(\right. 1998 \left.\right) = 35,982,009 a + 11,997 b + 3 c . \left(\right. 2 \left.\right)\)

1. Dùng (1) để thay \(c\)
   Từ (1): \(c = 1 - 11,994,001 a - 3999 b .\)

Thay vào (2):

\(f \left(\right. 2001 \left.\right) - f \left(\right. 1998 \left.\right) = 35,982,009 a + 11,997 b + 3 \left(\right. 1 - 11,994,001 a - 3999 b \left.\right) .\) \(= 35,982,009 a + 11,997 b + 3 - 35,982,003 a - 11,997 b .\)

Rút gọn:

\(= 6 a + 3.\)

1. Kết luận
   Do \(a\) là số nguyên dương nên

\(f \left(\right. 2001 \left.\right) - f \left(\right. 1998 \left.\right) = 6 a + 3 = 3 \left(\right. 2 a + 1 \left.\right) .\)

Rõ ràng chia hết cho 3 và lớn hơn 3.
\(\Rightarrow f \left(\right. 2001 \left.\right) - f \left(\right. 1998 \left.\right)\) là hợp số.

---

✅ Kết quả cuối cùng:

\(f\left(\right.2001\left.\right)-f\left(\right.1998\left.\right)\) là hợp số.

xin cái tickkk=)