Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b) Ta có \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}\)(BĐT Schwarz)
\(=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y+z}=\frac{y^2}{z+x}=\frac{z^2}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
a) Có \(P=1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)
\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)(BĐT Bunyakovsky)
\(=\sqrt{3.\left[2\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\right]}\)
\(\le\sqrt{3\left[4+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}=\sqrt{3\left(4+\frac{4}{3}\right)}=4\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2/3
TA CÓ:
\(B=\frac{1}{\sqrt{x\left(y+2z\right)}}+\frac{1}{\sqrt{y\left(z+2x\right)}}+\frac{1}{\sqrt{z\left(x+2y\right)}}\ge\frac{1}{\frac{x+y+2z}{2}}+\frac{1}{\frac{y+z+2x}{2}}+\frac{1}{\frac{z+x+2y}{2}}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)}=\frac{18}{3\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}\)
DẤU BẰNG XẢY RA:\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\frac{B}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3x\left(y+2z\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3y\left(z+2x\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3z\left(x+2y\right)}}\)
\(\ge\frac{1}{\frac{3x+y+2z}{2}}+\frac{1}{\frac{3y+z+2x}{2}}+\frac{1}{\frac{3z+x+2y}{2}}\ge\frac{2\left(1+1+1\right)^2}{6\left(x+y+z\right)}=\frac{18}{6\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{18\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=3\)
Dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ta có: \(\frac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}=\sqrt{\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}}\)
Áp dụng BĐT bunyakovsky:\(\left(2+1\right)\left(\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}\right)^2\).....bla bla
ĐKXĐ : \(x>\frac{1}{2};y>\frac{1}{2};z>\frac{1}{2}\)
Áp dụng ( a+b)2 \(\ge4ab\)ta có :
( x+ 2y)2 = \(\left(\frac{2x+y}{2}+\frac{3y}{2}\right)^2\ge4.\left(\frac{2x+y}{2}\right).\frac{3y}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2\ge3y\left(2x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{2x+y}{x+2y}\le\frac{x+2y}{3y}\)
\(\Rightarrow\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Tương tự : \(\frac{2y+z}{y\left(y+2\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\frac{2z+x}{z.\left(z+2x\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
=> \(A\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Ta có : \(\sqrt{\left(2x-1\right)1}\le\frac{2x-1+1}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x-1}\le x\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\)
\(\frac{1}{y}\le\frac{1}{\sqrt{2y-1}}\)
\(\frac{1}{z}\le\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\)
Do đó
A \(\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\)
Vậy Max A = 3 khi x = y = z = 1
Theo Cô-si ta có:
\(3=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le3\)
Xét:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\Sigma_{cyc}\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}=\frac{1}{3}\left[\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+2y\right)}+\frac{\left(y-z\right)^2}{yz\left(y+2z\right)}+\frac{\left(z-x\right)^2}{zx\left(z+2x\right)}\right]\ge0\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le3\)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi với 2 số thực không âm ta có:
\(x\sqrt{1-y^2}\le\frac{x^2+1-y^2}{2}\)
\(y\sqrt{1-z^2}\le\frac{y^2+1-z^2}{2}\)
\(z\sqrt{1-x^2}\le\frac{z^2+1-x^2}{2}\)
=>\(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}\le\frac{x^2+1-y^2}{2}+\frac{y^2+1-z^2}{2}+\frac{z^2+1-x^2}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x^2=1-y^2;y^2=1-z^2;z^2=1-x^2\)
Cộng vế với vế của các đẳng thức với nhau ta được: \(x^2+y^2+z^2=1-y^2+1-z^2+1-x^2=3-\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
<=>\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}\)(đpcm)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(\sqrt{\frac{3+x^2}{x}}.\sqrt{x}+\sqrt{\frac{3+y^2}{y}}.\sqrt{y}+\sqrt{\frac{3+z^2}{z}}.\sqrt{z}\right)^2\) \(\le\left(\frac{3+x^2}{x}+\frac{3+y^2}{y}+\frac{3+z^2}{z}\right)\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{3+x^2}+\sqrt{3+y^2}+\sqrt{3+z^2}\right)^2\) \(\le\left(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z}+x+y+z\right)\left(x+y+z\right)\)
Kết hợp giải thiết:
\(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}=2x+2y+2z\) suy ra:
\(\left(\sqrt{3+x^2}+\sqrt{3+y^2}+\sqrt{3+z^2}\right)^2\le4.\left(x+y+z\right)^2\)
Do đó:
\(\sqrt{3+x^2}+\sqrt{3+y^2}+\sqrt{3+z^2}\le2.\left(x+y+z\right)\) \(\left(1\right)\)
Theo giải thiết ta có:
\(\sqrt{3+x^2}+\sqrt{3+y^2}+\sqrt{3+z^2}=2x+2y+2z\)
Do đó xảy ra đẳng thức ở \(\left(1\right)\) tức là:
\(\hept{\begin{cases}\frac{3+x^2}{x}=\frac{3+y^2}{y}=\frac{3+z^2}{z}\\\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}=2x+2y+2z\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Thử lại thấy bộ số \(\left(x,y,z\right)=\left(1,1,1\right)\) thỏa mãn.
x, y, z là số thực
Làm sao có thể sử dụng \(\sqrt{x}\)