Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta có: \(x^3+y^3=9xy\)
\(\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)=9xy\)
\(\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y+3)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y)^3+3^3-3xy(x+y+3)=27\)
\(\Leftrightarrow (x+y+3)[(x+y)^2-3(x+y)+9]-3xy(x+y+3)=27\)
\(\Leftrightarrow (x+y+3)[(x+y)^2-3(x+y)+9-3xy]=27\)
\(\Leftrightarrow (x+y+3)(x^2+y^2+9-xy-3x-3y)=27\)
Vì \(x,y\in\mathbb{N}^*\Rightarrow x+y+3\geq 5\)
Đến đây ta xét các TH:
TH1: \(\left\{\begin{matrix}
x+y+3=9(1)\\
x^2+y^2+9-xy-3x-3y=3(2)\end{matrix}\right.\)
\((1)\rightarrow x+y=6\)
Thay vào PT thứ 2:
\((x+y)^2-2xy+9-xy-3(x+y)=3\)
\(\Leftrightarrow 27-3xy=3\Leftrightarrow xy=8\)
Thay \(y=6-x\Rightarrow x(6-x)=8\)
\(\Leftrightarrow x^2-6x+8=0\)
\(\Leftrightarrow (x-2)(x-4)=0\Leftrightarrow x=2, x=4\)
\(\Rightarrow y=4, y=2\)
TH2: \(\left\{\begin{matrix} x+y+3=27(1)\\ x^2+y^2+9-xy-3x-3y=1(2)\end{matrix}\right.\)
\((1)\rightarrow x+y=24\)
Thay vào (2):
\((x+y)^2-2xy+9-xy-3(x+y)=1\)
\(\Leftrightarrow 513-3xy=1\Leftrightarrow xy=\frac{512}{3}\not\in\mathbb{N}^*\) (loại)
Vậy \((x,y)=(2,4); (4,2)\)
a)\(x^2+\left(y-\frac{1}{10}\right)^4=0\)
Ta thấy: \(\left\{\begin{matrix}x^2\ge0\\\left(y-\frac{1}{10}\right)^4\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+\left(y-\frac{1}{10}\right)^4\ge0\)
Mà \(x^2+\left(y-\frac{1}{10}\right)^4=0\)
Xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix}x^2=0\\\left(y-\frac{1}{10}\right)^4=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=0\\y=\frac{1}{10}\end{matrix}\right.\)
b)\(\left(x-5\right)^{20}+\left(y^2-\frac{1}{4}\right)^{10}\le0\)
Ta thấy: \(\left\{\begin{matrix}\left(x-5\right)^{20}\ge0\\\left(y^2-\frac{1}{4}\right)^{10}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x-5\right)^{20}+\left(y^2-\frac{1}{4}\right)^{10}\ge0\)
Mà \(\left(x-5\right)^{20}+\left(y^2-\frac{1}{4}\right)^{10}\le0\)
Suy ra \(\left\{\begin{matrix}\left(x-5\right)^{20}=0\\\left(y^2-\frac{1}{4}\right)^{10}=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x-5=0\\y^2-\frac{1}{4}=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x=5\\y=\pm\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Nếu x = y thì 2x-y = 1 => 2x-y - 1 = 0 => 2y.(2x-y - 1) = 0 < 256
=> x khác y => 2x-y - 1 là số lẻ
ta có: 2y.(2x-y - 1) = 256 = 28 = 28.1 => 2y = 28 và 2x-y - 1 = 1
=> y = 8 và 2x-y = 2 = 21 => x - y = 1 => x = y + 1 = 8 + 1 = 9
Vậy x = 9 ; y = 8
Lời giải:
a)
Ta có: \(2^x-2^y=256=2^8\) (\(\Rightarrow x>y\) )
\(\Leftrightarrow 2^y(2^{x-y}-1)=2^8(*)\)
Vì \(x>y\Rightarrow x-y>0\Rightarrow 2^{x-y}\) chẵn. Do đó \(2^{x-y}-1\) lẻ. Kết hợp với
\((*)\Rightarrow 2^{x-y}-1=1\Leftrightarrow x-y=1\)
Khi đó: \(2^8=2^y(2^{x-y}-1)=2^y(2-1)=2^y\Rightarrow y=8\)
\(\Rightarrow x=y+1=9\)
PT có nghiệm \((x,y)=(9,8)\)
b) Giả sử \(x=y\Rightarrow 3^x+3^y= 2.3^x=3\vdots 2\) (vô lý). Do đó \(x\neq y\)
Không mất tính tổng quát giả sử \(x> y\).
PT tương đương: \(3^y(3^{x-y}+1)=3\) \((**)\)
Vì \(x>y\Rightarrow x-y\geq 1\Rightarrow 3^{x-y}\vdots 3\)
\(\Rightarrow 3^{x-y}+1\not\vdots 3\). Kết hợp với \((**)\Rightarrow 3^{x-y}+1=1\Leftrightarrow 3^{x-y}=0\) (vl)
Do đó PT vô nghiệm.
Câu c)
\((x-2)^2=3\Leftrightarrow \) \(\left[{}\begin{matrix}x-2=\sqrt{3}\\x-2=-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \)\(\left[{}\begin{matrix}x=2+\sqrt{3}\\x=2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
Câu d)
Nếu \(y=0\Rightarrow 2007^x=2000-2008^0=1999\Rightarrow x\not\in\mathbb{N}\)
Nếu \(y\geq 1.\)Ta thấy với mọi số tự nhiên \(x\in\mathbb{N}\Rightarrow 2007^x\) lẻ và \(2008^y\) chẵn
\(\Rightarrow 2007^x+2008^y\) lẻ. Mà 2000 là số chẵn, do đó pt vô nghiệm.