Question

[Tran Le Hoang Vu]

tìm các số nguyên tố p,q sao cho p^q+2^p+3 là số nguyên tố

Answer 1

[💖campuchno asasino👑]

sao dài thế

Answer 2

[Lê Song Phương]

Nếu \(p\) là số nguyên tố lẻ thì dễ thấy \(p^{q}+2^{p}+3\) là số chẵn lớn hơn 2, vô lý. Vậy \(p=2\). Khi đó \(N=p^{q}+2^{p}+3=2^{q}+2^2+3=2^{q}+7\)

Với \(q=2\) thì \(N=2^2+7=11\) là số nguyên tố (nhận).

Với \(q\ge3\) thì \(N=2^{q}+7\) chia hết cho 3 nên nó là hợp số (loại).

Vì sao \(q=2\) lại thỏa mãn còn \(q\ge3\) thì không?

Đó là vì \(q=2\) là số nguyên tố chẵn duy nhất. Do 2 chia cho 3 có số dư là \(-1\) nên đem bình phương lên nó sẽ thành 1, cộng thêm 7 thành 8, không chia hết cho 3.

Nhưng với \(q\ge3\) thì lại khác.

Khi đó vì q là số nguyên tố nên q lẻ, mà \(-1\) mũ lẻ vẫn là \(-1\), khi cộng với 7 sẽ là 6, chia hết cho 3. Vì vậy, với mọi số nguyên tố \(q\ge3\) thì \(N=2^{q}+7\) luôn là hợp số.

Như vậy, ta tìm được duy nhất 1 cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(p=q=2\).