J
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KN
27 tháng 12 2019
Áp dụng BĐT Svac - xơ:
\(T=\frac{a}{a^2+8bc}+\frac{b}{b^2+8ca}+\frac{c}{c^2+8ab}\)
\(=\frac{a^2}{a^3+8abc}+\frac{b^2}{b^3+8abc}+\frac{c^2}{c^3+8abc}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^3+b^3+c^3+24abc}\)
Ta lại có: \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+\)\(3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)
\(\ge a^3+b^3+c^3+27\sqrt[3]{abc}.\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}-3abc=\)\(a^3+b^3+c^3+24abc\)
Lúc đó: \(T\ge\frac{1}{a+b+c}=1\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\))
LH
1
11 tháng 8 2020
Ta có: \(p^2=8q+9\)
<=>\(p^2-9=8q\)
<=>\(\left(p-3\right)\left(p+3\right)=8q\)
Do q là số nguyên tố=> q chia hết cho 1 hoặc chính nó =>Một trong hai số \(p-3\)và \(p+3\)bằng 8
=>\(\orbr{\begin{cases}p-3=8\\p+3=8\end{cases}}\)<=>\(\orbr{\begin{cases}p=11\\p=5\end{cases}}\)<=>\(\orbr{\begin{cases}q=14\left(lọai\right)\\q=2\end{cases}}\)
Vậy \(p=5\)và \(q=2\)
16 tháng 7 2018
Ta có: \(\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}\)\(\Leftrightarrow a\left(c^2+b^2\right)=c\left(a^2+b^2\right)\)\(\Leftrightarrow ac^2+ab^2=a^2c+b^2c\Leftrightarrow ac\left(c-a\right)-b^2\left(c-a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-a\right)\left(ac-b^2\right)=0\)
Vì \(a\ne c\)nên \(c-a\ne0\)
Do đó \(ac-b^2=0\Leftrightarrow ac=b^2\Rightarrow\sqrt{ac}=b\)
Giả sử \(a^2+b^2+c^2\)là số nguyên tố
Ta có \(a^2+b^2+c^2=a^2+ac+c^2=\left(a+c\right)^2-ac=\left(a+c\right)^2-b^2\)\(=\left(a-b+c\right)\left(a+b+c\right)\)
\(=\left[\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{ac}+\left(\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}\right]\left[\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{ac}+\left(\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\right]\)
\(\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}\right]\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\right]\)
Vì \(a^2+b^2+c^2\)là số nguyên tố nên có một ước số là 1
Mà \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}< \left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\)
nên \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}=1\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2=1-\sqrt{ac}\)
Vì \(a\ne c\Rightarrow\sqrt{a}\ne\sqrt{c}\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{c}\ne0\)\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>0\)
Do đó \(1-\sqrt{ac}>0\Rightarrow\sqrt{ac}< 1\Rightarrow ac< 1\)(1)
Mà \(a^2+b^2>0\)và \(c^2+b^2>0\)nên \(\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}>0\Rightarrow\frac{a}{c}>0\Rightarrow\)a, c cùng dấu \(\Rightarrow ac>0\)(2)
Từ (1), (2) suy ra \(0< ac< 1\)
Mà a,c là số nguyên nên ac là số nguyên
Do đó không có giá trị a,c thỏa mãn
suy ra điều giả sử sai
Vậy \(a^2+b^2+c^2\) không thể là số nguyên tố
24 tháng 7 2020
đại khái giống Ngọc thôi, sửa 1 số lỗi
\(P=1-2\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)-2abc\)
\(b=mid\left\{a;b;c\right\}\)\(\Rightarrow\)\(ab^2+ca^2\le a^2b+abc\)
\(\Rightarrow\)\(P\le1-2a^2b-2bc^2-4abc=1-2b\left(c+a\right)^2\le1-8\left(\frac{b+\frac{c+a}{2}+\frac{c+a}{2}}{3}\right)^3=\frac{19}{27}\)
24 tháng 7 2020
ta có ab+bc+ca=(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)+3abc
=> a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=1-2(ab+bc+ca)=1-2[(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)+3abc]
do đó P=2(a2b+b2c+c2a)+1-2[(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)+3abc]+4abc
=1-2(ab2+bc2+ca2)
không mất tính tổng quát giả sử a =<b=<c. suy ra
a(a-b)(b-c) >=0 => (a2-a)(b-c) >=0
=> a2b-a2c-ab2+abc >=0 => ab2+ca2=< a2b+abc
do đó ab2+bc2+ca2+abc=(ab2+ca2)+bc2+abc =< (a2b+abc)+b2c+abc=b(a+c)2
với các số dương x,y,z ta luôn có: \(x+y+z-3\sqrt[3]{xyz}=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)\left[\left(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}\right)^2+\left(\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{z}\right)^2+\left(\sqrt[3]{z}-\sqrt[3]{x}\right)^2\right]\ge0\)
=> \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2\)(*)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z
áp dụng bđt (*) ta có:
\(b\left(a+c\right)^2=ab\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{a+c}{2}\right)\le4\left(\frac{b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}}{3}\right)^3=4\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)
=> P=1-2(ab2+bc2+ca2+abc) >= 1-2b(a+c)2 >= 1-2.4/27=19/27
vậy minP=19/27 khi x=y=z=1/3
VT
15 tháng 10 2019
là số hữu tỉ nên sẽ sẽ có dạng \(\frac{a-b\sqrt{2}}{b-c\sqrt{2}}=\frac{m}{n}< =>an-bn\sqrt{2}=bm-cm\sqrt{2}< =>\)
an-bm=\(\sqrt{2}\)(bn-cm)
an-bm là số nguyên; nên \(\sqrt{2}\left(bn-cm\right)\)là số nguyên => bn-cm=0 => an-bm=0
ta có bn=cm; bm=an => b2mn = cman <=> b2 =ac
\(a^2+b^2+c^2=a^2+c^2+2ac+b^2=\left(a+c\right)^2-2b^2+b^2=\)\(\left(a+c\right)^2-b^2=\left(a+c-b\right)\left(a+c+b\right)\)(1)
dễ thấy a+c-b>a+c+b nên để (1) là số nguyên tố thì a+c-b=1 => a2+b2+c2 =a+b+c
<=> a(a-1)+b(b-1)+c(c-1) = 0 => a=b=c=1
thử lại ta thấy thỏa mãn điều kiện đề bài => a=b=c=1
VT
15 tháng 10 2019
Sửa lại một chút: a2+b2+c2 =a2+c2+2ac -2ac+b2 =(a+c)2-2ac+b2
TN
16 tháng 10 2016
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)ta có:
\(P\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
Lại có:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}=9\)
Mặt khác \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{ab+bc+ca}\ge3\)\(\Rightarrow P_{Min}=30\)
Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)