Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
=> Theo bđt cô si ta có : B≥33√(x2+1y2 )(y2+1z2 )(z2+1x2 )
=> B≥33√2·xy ·2·yz ·2·zx =33√8=6
( Chỗ này là thay x2+1y2 ≥2√x2y2 =2·xy và 2 cái kia tương tự vào )
=> Min B=6
Mình nhầm chỗ câu b, sửa lại là :
B≥33√√(x2+1y2 )(y2+1z2 )(z2+1x2 )
Bạn làm tương tự => B≥3√2.
Qúa dễ luôn
Ta có : a x 2 + b x 2 + c x 2 \(\le\) 5
2 x ( a + b + c ) \(\le\)5
a + b + c \(\le\) 5/2
a + b + c \(\le\) 2,5
Mà theo đề bài : a + b + c không lớn hơn 2 ( có nghĩa là bé hơn 2 ) . Nên a + b + c phải luôn luôn bé hơn 2,5 ( vì 2 luôn bé hơn 2,5 )
Vậy : a x 2 + b x 2 + c x 2 \(\le\) 5
Cách 3: (rất gọn gàng)
Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\).Trước hết chứng minh: \(4P\le\left(a+b+c\right)^3-3abc\)
Có: \(VP-VT=c\left(\Sigma_{cyc}a^2-\Sigma_{cyc}ab\right)+\left(a-b\right)^2\left(a+b-2c\right)\ge0\)
Vì vậy: \(4P\le\left(a+b+c\right)^3-3abc\le\left(a+b+c\right)^3=1\Rightarrow P\le\frac{1}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right)\) và các hoán vị.
P/s: Làm thử, ko chắc, em cũng chưa kiểm tra lại lời giải đâu.
Từ đề bài có \(P=ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)=f\left(a;b;c\right)\)
Xét hiệu:
\(f\left(a;b;c\right)-f\left(t;t;c\right)=ab\left(a+b\right)-t^2.\left(2t\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)-2tc\left(t+c\right)\) với \(t=\frac{a+b}{2}\)
Lại có \(b\left(b+c\right)+a\left(c+a\right)-2t\left(t+c\right)\)
\(=b^2+bc+a^2+ca-\left(a+b\right)\left(\frac{a+b}{2}+c\right)\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{2}\) nên :
\(f\left(a;b;c\right)-f\left(t;t;c\right)=\frac{c\left(a-b\right)^2}{2}-\left(t^2-ab\right)\left(a+b\right)\)
\(=\frac{2c\left(a-b\right)^2}{4}-\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2}{4}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\left(c-a+c-b\right)\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\).
Có ngay \(f\left(a;b;c\right)-f\left(t;t;c\right)\le0\) hay \(f\left(a;b;c\right)\le f\left(t;t;c\right)\).
Do đó ta sẽ tìm max của f(t;t;c) = \(2t^3+2tc\left(t+c\right)\). Mặt khác từ đề bài suy ra \(c=1-2t\) mà c> 0 và t > 0do đó \(0\le t\le\frac{1}{2}\)
Do đo \(f\left(t;t;c\right)=2t^3+2t\left(1-2t\right)\left(1-t\right)=6t^3-6t^2+2t\)
Bây giờ xét hiệu \(f\left(t;t;c\right)-\frac{1}{4}=\left(t-\frac{1}{2}\right)\left(6t^2-3t+\frac{1}{2}\right)\le0\forall\)\(0\le t\le\frac{1}{2}\)
Do đó \(f\left(t;t;c\right)\le\frac{1}{4}\).Đẳng thức xảy ra khi \(t=\frac{1}{2}\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}\Rightarrow c=0\)
Vậy....
P/s: Em ko chắc vì hoàn toàn chưa kiểm tra lại.