KA
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
29 tháng 3 2022
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Khi đó \(\frac{a^4}{b+2}=\frac{1}{3}\)
Ta cần ghép \(\frac{a^4}{b+2}\)với hạng tử \(k\left(b+2\right)\)thỏa mãn khi Cô-si thì dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
Lại có \(b+2=3\)
Đồng thời khi Cô-si dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a^4}{b+2}=k\left(b+2\right)\)hay \(\frac{1}{3}=k.3\)\(\Leftrightarrow k=\frac{1}{9}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{a^4}{b+2}\)và \(\frac{b+2}{9}\), ta có:
\(\frac{a^4}{b+2}+\text{}\frac{b+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^4}{b+2}.\frac{b+2}{9}}=\frac{2a^2}{3}\)
Tương tự, ta có \(\frac{b^4}{c+2}+\text{}\frac{c+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{b^4}{c+2}.\frac{c+2}{9}}=\frac{2b^2}{3}\)và
\(\frac{c^4}{a+2}+\text{}\frac{a+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{c^4}{a+2}.\frac{a+2}{9}}=\frac{2c^2}{3}\)
CỘng vế theo vế từng BĐT, ta được \(P+\frac{a+2+b+2+c+2}{9}\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{\left(a+b+c\right)+6}{9}\ge2\)(vì \(a^2+b^2+c^2=3\)) \(\Leftrightarrow P\ge2-\frac{\left(a+b+c\right)+6}{9}\)(1)
Ta chứng minh BĐT phụ \(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)(với \(a,b,c>0\))
Thật vậy, BĐT này \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\le3a^2+3b^2+3c^2\)\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy BĐT phụ được chứng minh \(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\sqrt{3.3}=3\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow P\ge2-\frac{3+6}{9}=1\)\(\Rightarrow min_P=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
PN
8 tháng 8 2020
đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))
Sử dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)
bài làm của e :
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)
Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)
Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
8 tháng 8 2020
Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:
https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html
Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1
chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)
Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)
KK
23 tháng 1 2017
Ta có \(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{a^2}\right)+y^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{b^2}\right)+z^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{c^2}\right)=0\)
Do \(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{a^2}\\\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{b^2}\\\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{c^2}\end{matrix}\right.\ne0\) và \(a,b,c\ne0\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x^2=0\\y^2=0\\z^2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=0\end{matrix}\right.\)
Ta có \(A=x^{2008}+y^{2008}+z^{2008}\)
\(\Rightarrow A=0+0+0\)
\(\Rightarrow A=0\)
Vậy A = 0
KR
12 tháng 5 2018
Từ \(a^2+b^2+c^2=1\) , ta có thể suy ra rằng \(\hept{\begin{cases}\left|a\right|\le1\\\left|b\right|\le1\\\left|c\right|\le1\end{cases}}\)
Ta Có \(a^2-a^3+b^2-b^3+c^2-c^3=0\)
<=> \(a^2\left(1-a\right)+b^2\left(1-b\right)+c^2\left(1-c\right)=0\)
Nhận thấy \(a^2\left(1-a\right)+b^2\left(1-b\right)+c^2\left(1-c\right)\ge0\)
Nên suy ra \(\hept{\begin{cases}a\left(1-a\right)=0\\b\left(1-b\right)=0\\c\left(1-c\right)=0\end{cases}}\) Vậy tồn tại trong ba số a,b,c có một số bằng 1
Kết hợp Với \(a^2+b^2+c^2=1\)
Suy ra hai số còn lại bằng 0
Vậy \(a+b^2+c^3=1\)
12 tháng 5 2018
\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2\right)+\left(b^3-b^2\right)+\left(c^3-c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a.\left(a^2-1\right)+b.\left(b^2-1\right)+c.\left(c^2-1\right)=0\)
Vì \(a.\left(a^2-1\right)\ge0;b.\left(b^2-1\right)\ge0;c.\left(c^2-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a.\left(a^2-1\right)=0;b.\left(b^2-1\right)=0;c.\left(c^2-1\right)=0\)
\(\hept{\begin{cases}a.\left(a^2-1\right)=0\\b.\left(b^2-1\right)=0\\c.\left(c^2-1\right)=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=0;\pm1\\b=0;\pm1\\c=0;\pm1\end{cases}}}\)
rồi bn tings bốt hộ mk
mk mới lớp 6 lên cứ làm bừa
mk giải nhì toán leenbuafw thôi
29 tháng 12 2016
\(\orbr{\begin{cases}a=49&b=48&\end{cases}\Rightarrow49^2+48^2=2401+2304=4705}\)
29 tháng 7 2021
Ta có:
\(\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}\)
\(\Leftrightarrow ac^2+ab^2=ca^2+cb^2\)
\(\Leftrightarrow ac\left(c-a\right)=b^2\left(c-a\right)\)
\(\Leftrightarrow ac=b^2\)
Thế vô ta được
\(a^2+b^2+c^2=a^2+2ac+c^2+b^2-2ac\)
\(=\left(a+c\right)^2-b^2=\left(a+c-b\right)\left(a+c+b\right)\)
Làm nốt