Question

[Nguyễn Thị Diễm Quỳnh]

Tìm các số hữu tỉ \(x\) sao cho \(\sqrt{x^2+4}\) là số hữu tỉ.

Answer 1

[Hung nguyen]

Ta có:

\(\sqrt{x^2+4}=y^2\left(y\in Q\right)\)

\(\Leftrightarrow y^2-x^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(y+x\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-x=a\\y+x=\dfrac{4}{a}\end{matrix}\right.\) \(\left(a\in Q;0< a\le\dfrac{4}{a}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4-a^2}{2a}\\y=\dfrac{4+a^2}{2a}\end{matrix}\right.\)\(\left(a\in Q;0< a\le2\right)\)

Thế ngược lại bài toán ta có:

\(\sqrt{x^2+4}=\sqrt{\left(\dfrac{4-a^2}{2a}\right)^2+4}=\sqrt{\left(\dfrac{4+a^2}{2a}\right)^2}=\dfrac{4+a^2}{2a}\)

Vậy giá trị x cần tìm là: \(x=\dfrac{4-a^2}{2a}\)\(\left(a\in Q;0< a\le2\right)\)

Answer 2

[Hung nguyen]

Chỗ đầu tiên là:\(\sqrt{x^2+4}=y\) nhé. Ghi nhầm.