Question

[Nguyễn Triệu Yến Nhi]

Tìm các chữ số a,b,c >0 sao cho với mọi số n∈|N* thì: 

aaa...abbb...b+1=(ccc...c+1)^2

(có n chữ số a; n chữ số b; n chữ số c)

Answer 1

[Trần Thị Loan]

=> aaa..000 + bb..bb + 1 = (ccc...c +1)² (Có n chữ số 0)

=> a. 111..1 . 10ⁿ + b. 111..1 + 1 = (c. 111...1 +1)²   (*)

Đặt 111...1 = k (có n chữ số 1)

Để ý: 9.k = 999..9 nên 9.k + 1 = 999...9 + 1 = 10ⁿ

Khi đó, viết (*) như sau: a.k.(9k +1) +b.k +1 = (c.k+1)²

=> 9a.k² + ak + bk + 1 = (ck + 1).(ck+1)

=> 9a.k² + (a+ b).k + 1 = c².k² + 2ck + 1

=>  9a.k² + (a+ b).k -  c².k² -  2ck = 0

=> ( 9a.k² -  c².k² ) + [(a+b).k - 2ck] = 0

=> (9a - c²).k² + (a +b - 2c).k = 0

=> [(9a - c²).k + (a +b - 2c)].k = 0 => (9a - c²).k + (a +b - 2c) = 0  (Do k khác 0)

Để điều này đúng với mọi số dương k thì 9a - c² = 0 và a + b - 2c = 0

=> 9a = c² và a + b = 2c

=> c² chia hết cho 9 và c < 9 (do a + b < 18)

Hay c chia hết cho 3 và < 9 => c = 3 hoặc 6 hoặc 9

Ta có bảng sau:

c	a	b
3	1	5
6	4	8
9	9	9

Vậy bộ số (a;b;c) = (1;5;3) hoặc (4;8;6) hoặc (9;9;9)

Answer 2

[Nguyễn Triệu Yến Nhi]

Ai đó giúp mình bài này với!