Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 50:
\(\dfrac{5}{\sqrt{10}}=\dfrac{5\sqrt{10}}{10}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)
\(\dfrac{5}{2\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\dfrac{1}{3\sqrt{20}}=\dfrac{1}{6\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{30}\)
\(\dfrac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}\left(2+\sqrt{2}\right)}{5\sqrt{2}}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{5}\)
Lời giải:
a)
Sử dụng pp biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)
\(\Leftrightarrow (ab+1)(a^2+b^2+2)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng với mọi $ab\geq 1$)
Ta có đpcm.
b) Áp dụng công thức của phần a ta có:
\(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}\geq \frac{2}{1+(ab)^2}\)
Tiếp tục áp dụng công thức phần a: \(\frac{1}{1+(ab)^2}+\frac{1}{1+b^4}\geq \frac{2}{1+ab^3}\)
Do đó:
\(\frac{1}{a^4+1}+\frac{3}{b^4+1}\geq \frac{4}{1+ab^3}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{b^4+1}+\frac{3}{c^4+1}\geq \frac{4}{1+bc^3}; \frac{1}{c^4+1}+\frac{3}{a^4+1}\geq \frac{4}{1+ca^3}\)
Cộng theo vế các BĐT trên thu được:
\(4\left(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\right)\geq 4\left(\frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\right)\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\geq \frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Đang rảnh, làm luôn\(A=\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}=\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}\right)+\left(\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\right)+\left(\dfrac{c}{ab}+\dfrac{a}{bc}\right)\right]\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{c}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}\right)=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 2
a: \(=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}-\dfrac{3}{2}\sqrt{2}+\dfrac{4}{5}\cdot10\sqrt{2}\right)\cdot8\)
\(=2\sqrt{2}-12\sqrt{2}+64\sqrt{2}\)
\(=54\sqrt{2}\)
b: \(=2\sqrt{6}-4\sqrt{2}+9+4\sqrt{2}-2\sqrt{6}=9\)
c: \(=\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}\)
d: \(=\sqrt{\dfrac{4-2\sqrt{3}}{4}}+\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}-1+1-\sqrt{3}}{2}=0\)
\(\dfrac{B}{2}=\dfrac{1}{1.2.3.4}+\dfrac{1}{2.3.4.5}+...+\dfrac{1}{2014.2015.2016.2017}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3B}{2}=\dfrac{3}{1.2.3.4}+\dfrac{3}{2.3.4.5}+...+\dfrac{3}{2014.2015.2016.2017}\)
\(=\dfrac{1}{1.2.3}-\dfrac{1}{2.3.4}+\dfrac{1}{2.3.4}+\dfrac{1}{3.4.5}+...+\dfrac{1}{2014.2015.2016}-\dfrac{1}{2015.2016.2017}\)
\(=\dfrac{1}{1.2.3}-\dfrac{1}{2015.2016.2017}\)
Tự làm nốt nhé
Còn lại thì trời làm ak