Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gỉa thiết đã cho có thể viết lại thành
(a/2)2+(b/2)2+(c/2)2+2.a/2.b/2.c/2=1
Từ đó suy ra 0<a/2,b/2,c/2≤1.
Như vậy tồn tại A,B,Cthỏa A+B+C=πA+B+C=r và a/2=cosA,b/2=cosB,c/2=cosC.
Từ một BĐT cơ bản cosA+cosB+cosC≤3/2
ta có ngay a+b+c≤3
<=> a^2+b^2+c^2 =< 3^2 =< 9
ta có:\(0\le a\le3\Rightarrow a\left(a-3\right)\le0\)
\(\Rightarrow a^2-3a\le0\)
C/m tương tư ta đc: \(b^2-3b\le0\)
\(c^2-3c\le0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-3\left(a+b+c\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le3.4=12\) (vì a+b+c=4)
b) Ta có \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}\)(BĐT Schwarz)
\(=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y+z}=\frac{y^2}{z+x}=\frac{z^2}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
a) Có \(P=1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)
\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)(BĐT Bunyakovsky)
\(=\sqrt{3.\left[2\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\right]}\)
\(\le\sqrt{3\left[4+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}=\sqrt{3\left(4+\frac{4}{3}\right)}=4\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2/3