Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)ta có:
\(P\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
Lại có:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}=9\)
Mặt khác \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{ab+bc+ca}\ge3\)\(\Rightarrow P_{Min}=30\)
Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
\(VT=\frac{1}{\sqrt{abc}}\Sigma_{cyc}\left(\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{c}}}\right)\le\frac{1}{\sqrt{abc}}\Sigma_{cyc}\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+2\sqrt{c}}{16}\right)=\frac{1}{\sqrt{abc}}\)
Dấu "=" xay ra khi \(a=b=c=\frac{16}{9}\)
với x,y >0 ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)..\)
Áp dụng bất đẳng thức trên được:
\(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab+abc}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{a+1}\right)\left(1\right).\)( vì abc = 1 )
Chứng minh tương tự ta được : \(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\left(2\right).\)
\(\frac{1}{ac+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\left(3\right).\)
Cộng vế với vế các BĐT (1), (2) và (3) ta được :
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{1}{c+1}\right)=\frac{3}{4}.\)( đpcm )
dấu " = " xẩy ra khi a = b = c = 1
We have \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=3\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{abc}=3\Rightarrow a+b+c=3abc\)
Apply inequality Cauchy, we have:
\(\text{Σ}_{cyc}\frac{ab^2}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{ab^2}{a+b}.\frac{bc^2}{b+c}.\frac{ca^2}{c+a}}\)
\(=\frac{3abc}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\ge\frac{a+b+c}{\frac{a+b+b+c+c+a}{3}}=\frac{3}{2}\)
"=" occurs when a = b = c = 1
\(P>=\frac{\left(b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)(bdt svac-xơ)(1)
ta có \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=3\)
=>\(a+b+c=3abc\)(2)
từ 1 và 2 =>\(P>=\frac{\left(b\sqrt{a}+b\sqrt{c}+a\sqrt{c}\right)^2}{6abc}\)
=>\(P>=\frac{\left(3\sqrt[3]{abc\sqrt{abc}}\right)^2}{6abc}\) (bdt cô si)
=>\(P>=\frac{9abc}{6abc}=\frac{3}{2}\)
xảy ra dấu = khi và chỉ khi a=b=c=1