Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì x+y+z=6 và \(x^2+y^2+z^2=12\)
Ta có \(x^2+y^2+z^2-x+y+z=12-6\)
Rút gọn: \(x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)+z\left(z-1\right)=6\)
=> \(x+y+z=x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)+z\left(z-1\right)\)
Tìm x \(\Rightarrow x\left(x-1\right)=x\Rightarrow x-1=1\Rightarrow x=2\)
Tìm y \(\Rightarrow y\left(y-1\right)=y\Rightarrow y-1=1\Rightarrow y=2\)
Tìm z \(\Rightarrow z\left(z-1\right)=z\Rightarrow z-1=1\Rightarrow z=2\)
Vậy \(x=y=z=2\)
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=12\\x+y+z=6\end{cases}}\)
Ta có \(\left(x+y+z\right)^2=36\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=36\)
\(\Leftrightarrow12+2xy+2yz+2xz=36\)
\(\Leftrightarrow2xy+2yz+2xz=24\Leftrightarrow xy+yz+xz=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz=12\)
Mặt khác ta có \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z\)
Vậy \(x=y=z=2\)
2.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - schwarz ( hay còn gọi là bất đẳng thức Cosi ):
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}=\frac{9}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
1:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si:
\(x\left(y+\frac{x}{1+y}\right)+y\left(z+\frac{y}{1+z}\right)+z\left(x+\frac{z}{1+x}\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(y+\frac{x}{1+y}\right)+\left(z+\frac{y}{1+z}\right)+\left(x+\frac{z}{1+x}\right)\right]\)
\(=1\left[\left(x+y+z\right)+\left(\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+z}+\frac{z}{1+x}\right)\right]\)
\(=1\left[1+\left(\frac{x+y+z}{1+y+1+z+1+x}\right)\right]\)
\(=1\left[1+\left(\frac{1}{3+\left(x+y+z\right)}\right)\right]\)
\(=1\left[1+\frac{1}{4}\right]\)
\(=1+\frac{5}{4}=\frac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)
2) \(x^4-x^2+2x+2\)
\(=x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)\)
\(=x^2\left(x-1+2\right)\left(x+1\right)\)
\(=x^2\left(x+1\right)^2\)
\(=\left(x^2+x\right)^2\)
Vậy \(x^4-x^2+2x+2\)là số chính phương với mọi số nguyên x
Nhớ mang máng câu này hồi trước có giải rồi. Thôi tự vô tìm đi nha
a/ \(\frac{x}{2}=\frac{y}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{4}=\frac{y^2}{16}=\frac{x^2+y^2}{20}=\frac{2000}{20}=100\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-20\\x=20\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=-40\\y=40\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}z=-50\\z=50\end{cases}}\)
b/ \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}=\frac{2y-4}{6}=\frac{3z-9}{12}=\frac{x-2y+3z-1+4-9}{2-6+12}=1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=5\\z=7\end{cases}}\)
6) Ta có
\(A=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\)
\(=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+2xz+yz+2xy+zx+2yz}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{1}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{1}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{1}{3}\)
Ta có: x + y + z = 6
=> ( x + y + z ) ^2 = 6^2
=> x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz = 36 ( Hằng đẳng thức mở rộng )
=> 2 ( xy + xz + yz ) = 36 -12 ( vì x^2 + y^2 + z^2 = 12 )
=> xy +xz + yz = 12
Mà: x^2 + y^2 + z^2 = 12
=> x.x+y.y+z.z = x.y + x.z + y.z
=> x = y = z
Theo bài: x + y +z = 6
=> 3x = 6
=> x = 2
=> y = z = x = 2
Vậy:.......
Ở đoạn \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\\ \) chẳng có ai lại làm cộc lốc như bạn Truong_tien_phuong này cả
Mình đố bạn đi thi vòng trường thị như thế mà người ta cho bạn điểm tối đa đấy( Không được điểm tối da chứ ko phải là không cho điểm)
Sau đây mình xin góp ý:
\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)\(\Rightarrow\)\(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\)
\(\Rightarrow\)\(2\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Rightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(z-x\right)^2=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(x=y=z\)
Theo bài : x + y + z = 6 ... blah blah blah