Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có BĐT:\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge\left(axm+byn+czp\right)^3\)(Cách c/m bn có thể tìm trên mạng)
Áp dụng ta có:\(\left(a^3+b^3+c^3\right).9\ge\left(a+b+c\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\ge\frac{1}{9}\)
Vì \(a,b,c\ge0;a+b+c=1\)\(\Rightarrow0\le a,b,c\le1\)
Đến đây làm tiếp nhé.
Sử dụng Cô-si đi cho đơn giản:
Dự đoán điểm rơi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(a\sqrt{a}+a\sqrt{a}+\frac{1}{3\sqrt{3}}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{3\sqrt{3}}}=\sqrt{3}a\)
Tương tự: \(b\sqrt{b}+b\sqrt{b}+\frac{1}{3\sqrt{3}}\ge\sqrt{3}b\); \(c\sqrt{c}+c\sqrt{c}+\frac{1}{3\sqrt{3}}\ge\sqrt{3}c\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}\ge\sqrt{3}\left(a+b+c\right)=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow2\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)\ge\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\ge\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Ta có: \(VT-VP\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{a+b+c-3}{3}\right)\ge0\) (áp dụng bđt cô si cho 3 số dương)
P/s: Is it true? Trong sách nâng cao và pt toán 8 của tác giả vũ hữu bình em nhớ nó phức tạp lắm mà sao em làm lai đơn giản nhỉ?
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho các bộ bốn số không âm, ta được: \(LHS=\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(=\frac{x^2+x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{y^2+y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{z^2+z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(\ge\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\)
Như vậy, ta cần chứng minh: \(\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\ge4xyz\)\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{yz}}{yz\left(4-yz\right)}+\frac{\sqrt{zx}}{zx\left(4-zx\right)}+\frac{\sqrt{xy}}{xy\left(4-xy\right)}\ge1\)
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le3\)
Đặt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{zx}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\). Khi đó \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c\le3\end{cases}}\)
và ta cần chứng minh \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge1\)
Xét BĐT phụ: \(\frac{x}{x^2\left(4-x^2\right)}\ge-\frac{1}{9}x+\frac{4}{9}\left(0< x\le1\right)\)(*)
Ta có: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2\left(x^2-2x-9\right)}{9x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\ge0\)(Đúng với mọi \(x\in(0;1]\))
Áp dụng, ta được: \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge-\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{4}{9}.3\)
\(\ge-\frac{1}{9}.3+\frac{4}{3}=1\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
1. Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có 2a2+b2+c2\(\ge\)2a(b+c)
Chứng minh:
Ta có 2a2+b2+c2=(a2+b2)+(a2+c2)
Áp dụng bđt cauchy ta có
(a2+b2)+(a2+c2)\(\ge\)2ab+2ac=2a(b+c)
Bài 1:
\(A=\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{2+3-2\sqrt{2.3}}+\sqrt{2+3+2\sqrt{2.3}}\)
\(=\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}+\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}\)
\(=|\sqrt{2}-\sqrt{3}|+|\sqrt{2}+\sqrt{3}|=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)
\(B=(\sqrt{10}+\sqrt{6})\sqrt{8-2\sqrt{15}}\)
\(=(\sqrt{10}+\sqrt{6}).\sqrt{3+5-2\sqrt{3.5}}\)
\(=(\sqrt{10}+\sqrt{6})\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}\)
\(=\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\sqrt{2}(5-3)=2\sqrt{2}\)
\(C=\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}\)
\(C^2=8+2\sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}=8+2\sqrt{4^2-7}=8+2.3=14\)
\(\Rightarrow C=\sqrt{14}\)
\(D=(3+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1).\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{5}}\)
\(=(3+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1).\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)
\(=(3+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1).\sqrt{5+1-2\sqrt{5.1}}\)
\(=(3+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1).\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}\)
\(=(3+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)^2=(3+\sqrt{5})(6-2\sqrt{5})=2(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=2(3^2-5)=8\)
Bài 2:
a) Bạn xem lại đề.
b) \(x-2\sqrt{xy}+y=(\sqrt{x})^2-2\sqrt{x}.\sqrt{y}+(\sqrt{y})^2=(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\)
c)
\(\sqrt{xy}+2\sqrt{x}-3\sqrt{y}-6=(\sqrt{x}.\sqrt{y}+2\sqrt{x})-(3\sqrt{y}+6)\)
\(=\sqrt{x}(\sqrt{y}+2)-3(\sqrt{y}+2)=(\sqrt{x}-3)(\sqrt{y}+2)\)
Ta co:
\(\sqrt[4]{4}VT=\sqrt[4]{4}\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{4}\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{4}\sqrt[4]{c^3}\)
\(=\sqrt[4]{4a^3}+\sqrt[4]{4b^3}+\sqrt[4]{4c^3}\)
\(=\sqrt[4]{\left(a+b+c\right)a^3}+\sqrt[4]{\left(a+b+c\right)b^3}+\sqrt[4]{\left(a+b+c\right)c^3}\)
\(>\sqrt[4]{a^4}+\sqrt[4]{b^4}+\sqrt[4]{c^4}=a+b+c\)
\(\Rightarrow VT>\frac{a+b+c}{\sqrt[4]{4}}=\frac{4}{\sqrt[4]{4}}=2\sqrt{2}\)
\(a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right)^2}{3}=\frac{\left(a+b+c\right)^4}{27}=\frac{1}{27}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Ở bài trên mình làm ko phải là Svac mà là BĐT cổ điển suy ra từ hằng đẳng thức
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) \(\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)