Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
*Đặt tên các biểu thức theo thứ tự lần lượt là A,B,C,D,E,F *
Câu 1)
Ta có: \(d(\cos x)=(\cos x)'d(x)=-\sin xdx\)
\(\Rightarrow -d(\cos x)=\sin xdx\)
\(\Rightarrow A=\int \sqrt{3\cos x+2}\sin xdx=-\int \sqrt{3\cos x+2}d(\cos x)\)
Đặt \(\sqrt{3\cos x+2}=t\Rightarrow \cos x=\frac{t^2-2}{3}\)
\(\Rightarrow A=-\int td\left(\frac{t^2-2}{3}\right)=-\int t.\frac{2}{3}tdt=-\frac{2}{3}\int t^2dt=-\frac{2}{3}.\frac{t^3}{3}+c\)
\(=-\frac{2}{9}t^3+c=\frac{-2}{9}\sqrt{(3\cos x+2)^3}+c\)
Câu 2:
\(B=\int (1+\sin^3x)\cos xdx=\int \cos xdx+\int \sin ^3xcos xdx\)
\(=\int \cos xdx+\int \sin ^3xd(\sin x)\)
\(=\sin x+\frac{\sin ^4x}{4}+c\)
Câu 3:
\(C=\int \frac{e^x}{\sqrt{e^x-5}}dx=\int \frac{d(e^x)}{\sqrt{e^x-5}}\)
Đặt \(\sqrt{e^x-5}=t\Rightarrow e^x=t^2+5\)
Khi đó: \(C=\int \frac{d(t^2+5)}{t}=\int \frac{2tdt}{t}=\int 2dt=2t+c=2\sqrt{e^x-5}+c\)
\(I=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(1+cosx+x.cosx\right)e^{sinx}dx=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0e^{sinx}dx+\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(x+1\right).cosx.e^{sinx}dx=I_1+I_2\)
Xét \(I_2\), đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+1\\dv=cosx.e^{sinx}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=e^{sinx}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_2=\left(x+1\right).e^{sinx}|^{\dfrac{\pi}{2}}_0-\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0e^{sinx}dx=\left(\dfrac{\pi}{2}+1\right)e-1-I_1\)
\(\Rightarrow I=I_1+\left(\dfrac{\pi}{2}+1\right)e-1-I_1=\left(\dfrac{\pi}{2}+1\right)e-1\)
\(I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{e^x\sin x}{1+\sin 2x}dx\\ J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{e^x\cos x}{1+\sin 2x}dx\)
\(\Rightarrow I-J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{(\sin x+\cos x)^2}dx=\dfrac{e^x}{\sin x+\cos x}\Big|_0^\frac{\pi}{2}-\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{e^x}{\sin x+\cos x}dx\)
Suy ra
\(I-J=e^{\frac{\pi}{2}}-1-(I+J)\Rightarrow I=\dfrac{e^{\frac{\pi}{2}}-1}{2}\)
Chọn A
Đặt u = x , d v = cos x d x
Suy ra d u = d x , v = sin x
Do đó I = x sin x + ∫ sin x d x = x sin x - cos x + C
Bạn xem lại xem có type thiếu đề không? \((x+\frac{\pi}{6})\) có sin hay cos, tan ở phía trước không?
Ta có ∫ (xcosx)’dx = (xcosx) và ∫ cosxdx = sinx. Từ đó
∫ xsinxdx = - ∫ [(xcosx)’ – cosx]dx = -∫ (xcosx)’dx + ∫ cosxdx = - xcosx + sinx + C.