Question

[đào văn khoa]

Giúp mình bài này với:)

S=5/3.5+5/5.7+5/7.9+...+5/2019.2021+5/2021.2023

Mình suy nghĩ mãi ko ra😅

Answer 1

[Đinh Thảo Ngân]

Đừng lo, mình sẽ giúp bạn giải bài này một cách rõ ràng nhé!

Đầu tiên, ta thấy biểu thức SS là một tổng các phân số có mẫu số dạng tích của hai số liên tiếp. Mẫu số của mỗi phân số có dạng n(n+2)n(n+2), với nn chạy từ 3 đến 2021 và tăng dần thêm 2 (tức là n=3,5,7,…,2021n = 3, 5, 7, \dots, 2021).

Phân tích biểu thức:

Phân số 5n(n+2)\frac{5}{n(n+2)} có thể được tách thành:

5n(n+2)=An+Bn+2\frac{5}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}

Trong đó AA và BB là các hằng số cần tìm.

Giải phương trình:

5n(n+2)=An+Bn+2\frac{5}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2} ⇒5=A(n+2)+Bn\Rightarrow 5 = A(n+2) + Bn ⇒5=An+2A+Bn\Rightarrow 5 = An + 2A + Bn ⇒5=(A+B)n+2A\Rightarrow 5 = (A + B)n + 2A

So sánh hệ số:

• A+B=0A + B = 0
• 2A=52A = 5

Từ đó, ta tìm được:

A=52, B=−52A = \frac{5}{2}, \, B = -\frac{5}{2}

Thay vào biểu thức ban đầu:

5n(n+2)=52n−52n+2\frac{5}{n(n+2)} = \frac{\frac{5}{2}}{n} - \frac{\frac{5}{2}}{n+2}

Vậy tổng SS trở thành một tổng dạng telesope (các số hạng triệt tiêu lẫn nhau):

S=(52(13−15))+(52(15−17))+⋯+(52(12021−12023))S = \left( \frac{5}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) \right) + \left( \frac{5}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) \right) + \dots + \left( \frac{5}{2} \left( \frac{1}{2021} - \frac{1}{2023} \right) \right)

Tính tổng:

Các số hạng giữa triệt tiêu, còn lại:

S=52(13−12023)S = \frac{5}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2023} \right)

Kết quả:

S=52⋅2023−33⋅2023=52⋅20206069=5⋅10106069=50506069S = \frac{5}{2} \cdot \frac{2023 - 3}{3 \cdot 2023} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2020}{6069} = \frac{5 \cdot 1010}{6069} = \frac{5050}{6069}

Vậy đáp số cuối cùng là S=50506069S = \frac{5050}{6069}.

Answer 2

[Nguyễn Việt Hoàn]

1. Tách phân số:

• Ta thấy mỗi số hạng của S đều có dạng 5/n(n+2).
• Ta có thể tách 5/n(n+2) như sau:
• • 5/n(n+2) = 5/2 * (1/n - 1/(n+2))

2. Áp dụng công thức:

• Áp dụng công thức trên cho từng số hạng của S, ta được:
• • S = 5/2 * (1/3 - 1/5) + 5/2 * (1/5 - 1/7) + 5/2 * (1/7 - 1/9) + ... + 5/2 * (1/2019 - 1/2021) + 5/2 * (1/2021 - 1/2023)

3. Rút gọn:

• Đặt 5/2 làm thừa số chung, ta có:
• • S = 5/2 * (1/3 - 1/5 + 1/5 - 1/7 + 1/7 - 1/9 + ... + 1/2019 - 1/2021 + 1/2021 - 1/2023)
• Ta thấy các số hạng -1/5 và 1/5, -1/7 và 1/7, ..., -1/2021 và 1/2021 triệt tiêu lẫn nhau.
• Vậy, S = 5/2 * (1/3 - 1/2023)

4. Tính toán:

• S = 5/2 * (2020/6069)
• S = 5050/6069

Kết luận:

• S = 5050/6069