Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Liên hợp ta thấy:
\(2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=2.\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(1)\)
\(2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})=2.\frac{n-(n-1)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)
------------------------
Áp dụng vào bài toán:
\(S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>1+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+2(\sqrt{4}-\sqrt{3})+...+2(\sqrt{101}-\sqrt{100})\)
\(\Leftrightarrow S>1+2(\sqrt{101}-\sqrt{2})>18(*)\)
Và:
\(S< 1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1})+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+....+2(\sqrt{100}-\sqrt{99})\)
\(\Leftrightarrow S< 1+2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=19(**)\)
Từ $(*); (**)$ suy ra $18< S< 19$ (đpcm)
Bạn tham khảo lời giải tại link sau:
Câu hỏi của Hoa Trần Thị - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Với mọi số tự nhiên a> 1 ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{2}{2\sqrt{a}}>\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}=2\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\right)=2\sqrt{a+1}-2\sqrt{a}\)
\(\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{2}{2\sqrt{a}}< \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}=2\left(\sqrt{a}-\sqrt{a-1}\right)=2\sqrt{a}-2\sqrt{a-1}\)
Áp dụng vào bài tập trên ta có:
\(S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{144}}\)
\(>2\sqrt{2}-2\sqrt{1}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+2\sqrt{4}-2\sqrt{3}+...+2\sqrt{145}-2\sqrt{144}\)
\(=-2\sqrt{1}+2\sqrt{145}>2\left(\sqrt{145}-1\right)>2\left(\sqrt{144}-1\right)=22\)
=> S>22
\(S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{144}}\)
\(< 1+2\sqrt{2}-2\sqrt{1}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+...+2\sqrt{144}-2\sqrt{143}\)
\(=1-2\sqrt{1}+2\sqrt{144}=23\)
=> S<23
Vậy 22<S<23