Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(a+b+c=1\Leftrightarrow a^2+ab+ca=a\)
Thay vào ta có: \(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{a^2+ab+ca+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Áp dụng Cauchy ngược: \(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{a^2+ab+ca+bc}}\le\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}}{2}\)
Tương tự ta CM được: \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}\le\frac{\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}}{2}\)
\(\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}}{2}\)
Cộng vế 3 BĐT trên ta được:
\(P\le\frac{\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}}{2}\)
\(=\frac{\left(\frac{a}{c+a}+\frac{c}{a+c}\right)+\left(\frac{b}{c+b}+\frac{c}{b+c}\right)+\left(\frac{a}{b+a}+\frac{b}{a+b}\right)}{2}\)
\(=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy \(Max_P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Ta có :
\(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab=ac+ac+c^2+ab=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
Tương tự : \(a+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right);c+ab=\left(c+b\right)\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
Áp dụng BĐT cauchy :
\(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)
\(\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)
\(\sqrt{\frac{ca}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+b}+\frac{a}{c+a}\right)\)
Cộng vế với vế :
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{c+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Ta có \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow3\ge3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow\sqrt[3]{abc}\le1\Leftrightarrow abc\le1\)(bđt AM-GM)
Khi đó \(P=2\left(ab+bc+ca\right)-abc\ge2\left(ab+bc+ca\right)-1\)
\(=2\left(\frac{abc}{c}+\frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}\right)-1=2\left[abc\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]-1\)
\(=2abc\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-1=2.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}-1=\frac{2.9}{3}-1=5\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Vậy GTNN của \(P=5\)đạt được khi \(a=b=c=1\)
p/s : nói chung hướng làm là vậy thôi :v chứ minh làm sai chỗ nào rồi ý
Ta có: \(\sqrt{2a+bc}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\frac{a+b+a+c}{2}\)
C/m tương tự \(\sqrt{2b+ac}\le\frac{b+a+b+c}{2}\)
\(\sqrt{2c+ab}\le\frac{c+a+c+b}{2}\)
\(\Rightarrow Q\le\frac{a+b+a+c+b+a+b+c+c+a+c+b}{2}=\frac{4\left(a+b+c\right)}{2}=4\)
Dấu "=" khi a = b = c = 2/3
Làm bừa thôi nhé:)
\(A=\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}\)
\(\ge\sqrt{2\sqrt{a^2.\frac{1}{a^2}}}+\sqrt{2\sqrt{b^2.\frac{1}{b^2}}}\)
\(=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=1\)
bổ sung thêm đk a+b=4
áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\cdot\left(4^2+1^2\right)}\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+\frac{1}{a}\right)\\\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(4^2+1\right)}\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(4b+\frac{1}{b}\right)\end{cases}}\)
khi đó ta được \(A\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left[4\left(a+b\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]\)
ta để sy thấy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)do đó áp dụng bđt Cauchy vfa giả thiết ta được
\(A\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left[4\left(a+b\right)+\frac{4}{a+b}\right]=\frac{1}{\sqrt{17}}\left[\frac{a+b}{4}+\frac{4}{a+b}+\frac{15\left(a+b\right)}{4}\right]\)\(\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left[2+15\right]=\sqrt{17}\)
dấu đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{4}=\frac{1}{a}\\\frac{b}{4}=\frac{1}{b}\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2}\)
\(P=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{a}\\y=\frac{1}{b}\\z=\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow xyz=1\Rightarrow P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+x+y}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cần cách khác thì nhắn cái