Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
c: =>3x^2+3y^2=39 và 3x^2-2y^2=-6
=>5y^2=45 và x^2=13-y^2
=>y^2=9 và x^2=4
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\in\left\{2;-2\right\}\\y\in\left\{3;-3\right\}\end{matrix}\right.\)
d: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5\sqrt{x}=5\\\sqrt{x}-\sqrt{y}=-\dfrac{11}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\\sqrt{y}=1+\dfrac{11}{2}=\dfrac{13}{2}\end{matrix}\right.\)
=>x=1 và y=169/4
b: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3x+3-3}{x+1}-\dfrac{2}{y+4}=4\\\dfrac{2x+2-2}{x+1}-\dfrac{5}{y+4}=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{3}{x+1}-\dfrac{2}{y+4}=4-3=1\\-\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{5}{y+4}=9-2=7\end{matrix}\right.\)
=>x+1=11/9 và y+4=-11/19
=>x=2/9 và y=-87/19
Lời giải:
a)
Sử dụng pp biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)
\(\Leftrightarrow (ab+1)(a^2+b^2+2)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng với mọi $ab\geq 1$)
Ta có đpcm.
b) Áp dụng công thức của phần a ta có:
\(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}\geq \frac{2}{1+(ab)^2}\)
Tiếp tục áp dụng công thức phần a: \(\frac{1}{1+(ab)^2}+\frac{1}{1+b^4}\geq \frac{2}{1+ab^3}\)
Do đó:
\(\frac{1}{a^4+1}+\frac{3}{b^4+1}\geq \frac{4}{1+ab^3}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{b^4+1}+\frac{3}{c^4+1}\geq \frac{4}{1+bc^3}; \frac{1}{c^4+1}+\frac{3}{a^4+1}\geq \frac{4}{1+ca^3}\)
Cộng theo vế các BĐT trên thu được:
\(4\left(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\right)\geq 4\left(\frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\right)\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\geq \frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài 1 :
a) Cái này cậu tự vẽ được nhé, cũng dễ mà :v tại tớ không biết vẽ trên đây :vvv
b)
*Xét A\(\left(3;\dfrac{9}{10}\right)\)
Thay x = 3 , y = \(\dfrac{9}{10}\) vào đồ thị hàm số , ta có
y = \(\dfrac{1}{10}x^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{10}=\dfrac{1}{10}\cdot3^2=\dfrac{9}{10}\)( Đúng )
Vậy điểm A thuộc đồ thị hàm số
*Xét B\(\left(-5;\dfrac{5}{2}\right)\)
Thay x = -5 , y = \(\dfrac{5}{2}\)vào đồ thị hàm số, ta có
\(y=\dfrac{1}{10}x^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{10}\cdot\left(-5\right)^2=\dfrac{25}{10}=\dfrac{5}{2}\) (Đúng)
Vậy điểm B thuộc đồ thị hàm số
* Xét \(C\left(-10;1\right)\)
Thay x=-10 ; y = 1 vào đồ thị hàm số, ta có
\(y=\dfrac{1}{10}x^2\)
\(\Leftrightarrow1=\dfrac{1}{10}\cdot\left(-10\right)^2=\dfrac{1}{10}\cdot100=10\) ( Vô lí )
Vậy điểm C không thuộc đồ thị hàm số
Bài 2:
* Xét A \(\left(\sqrt{2};m\right)\)
Thay x = \(\sqrt{2}\) vào đồ thị hàm số, có
y = \(\dfrac{1}{4}x^2=\dfrac{1}{4}\cdot\left(\sqrt{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\cdot2=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(A\left(\sqrt{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
* Xét B( \(-\sqrt{2};m\))
Thay x = \(-\sqrt{2}\) vào ĐTHS, có
y= \(\dfrac{1}{4}\cdot\left(-\sqrt{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\cdot2=\dfrac{1}{2}\)
Vậy B\(\left(-\sqrt{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
* Xét \(C\left(m;\dfrac{3}{4}\right)\)
Thay y= \(\dfrac{3}{4}\) vào ĐTHS, ta có
\(\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\cdot x^2\)
=> \(x^2=\dfrac{3}{4}:\dfrac{1}{4}=3\)
\(\Rightarrow x=\pm\sqrt{3}\)
Vậy C \(\left(\sqrt{3};\dfrac{3}{4}\right)\) hoặc C\(\left(-\sqrt{3};\dfrac{3}{4}\right)\)
a) \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm.
Đẳng thức khi \(a=b=c\)
b) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2b+1+a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức khi \(a=b=1\)
Các bài tiếp theo tương tự :v
g) \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}=6abc\)
i) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}};\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ca}}\)
Cộng vế theo vế rồi rút gọn cho 2, ta được đpcm
j) Tương tự bài i), áp dụng Cauchy, cộng vế theo vế rồi rút gọn được đpcm
Đề bài sai: Khi \(x=4\) thì \(A=\dfrac{1}{2};B=\dfrac{28}{9};\dfrac{A}{B}=\dfrac{9}{56};\dfrac{x-2}{4\sqrt{x}}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{A}{B}\ne\dfrac{x-2}{4\sqrt{x}}\)
a) \(4xy\le\left(x+y\right)^2=1\)
=> \(xy\le4\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1/2
b) A = \(A=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+2+\dfrac{1}{y^2}=\left(x^2+y^2\right)+\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+4\ge2xy+\dfrac{2}{xy}+4=\left(32xy+\dfrac{2}{xy}\right)-30xy+4\ge8-\dfrac{30}{4}+4=\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1/2
a) ...= \(\dfrac{1}{4}\).\(6\sqrt{5}\) +\(2\sqrt{5}\) - \(3\sqrt{5}\) +5
= \(\dfrac{3}{2}\sqrt{5}\) -\(\sqrt{5}\) +5
=5 - \(\dfrac{1}{2}\sqrt{5}\)
d) ...= \(\sqrt{\dfrac{a}{\left(1+b\right)^2}}\) . \(\sqrt{\dfrac{4a\left(1+b\right)^2}{15^2}}\)
= \(\sqrt{\dfrac{4a^2\left(1+b\right)^2}{\left(1+b\right)^2.15^2}}\) = \(\sqrt{\dfrac{4a^2}{15^2}}\)= \(\dfrac{2a}{15}\)
`D ( -1/4 = -1/4 xx 1^2) `
Chọn `C` và `D`
Vì `x=+-1` thì `y` đều có giá trị `= [-1]/4`