Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Theo bđt AM-GM,ta có: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)
Suy ra \(\frac{a^2}{b+c}\ge a-\frac{b+c}{4}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế ta có đpcm
2.
a, Có : (a+b+c).(1/a+1/b+1/c)
>= \(3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
= 9
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0
2.
b, Xét : 2(a+b+c).(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a) >= 9 ( theo bđt ở câu a đã c/m )
<=> (a+b+c).(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a) >= 9/2
<=> a/b+c + b/c+a + c/a+b + 3 >= 9/2
<=> a/b+c + b/c+a + c/a+b >= 9/3 - 3 = 3/2
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0
ta có \(a^2+2b^2+3=a^2+b^2+b^2+1+2.\)
áp dụng BĐT cauchy
=>\(a^2+2b^2+3>=2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)
=>\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}< =\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)
tương tự ta có \(\hept{\frac{1}{b^2+2c^2+3}< =\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}}\),\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}< =\frac{1}{2\left(ac+a+1\right)}\)
=>VT<=\(\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{ac+a+1}+\frac{1}{bc+c+1}\right)\)
<=>VT<=\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{abc}{ac+a^2bc+abc}+\frac{abc}{bc+c+abc}\right)\)(do abc=1)
<=>VT<=\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}\right)\)=\(\frac{1}{2}\left(\frac{ab+b+1}{ab+b+1}\right)=\frac{1}{2}\)(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3)
Tại có: abc=1 =>a=1;b=1;c=1.
Syu ra: 1/(1+2.1+3)+1/(1+2.1+3)+1/(1+2.1+3)
=1/6+1/6+1/6=1/2
=>1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3) \(\le\)1/2
=> đpcm
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\) (Cô si ngược + Rút gọn)
Tương tự \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT,ta được: \(VT\ge\left(a+b+c\right)-\left(\frac{ab+bc+ca}{2}\right)=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Mặt khác,ta có BĐT \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) (bạn tự c/m,không làm được ib)
Thay x = a; y = b ; z = c,ta có: \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{9}{3}=3\)
Suy ra\(VT\ge3-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
Nhân cả 2 vế với a+b+c
Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b};\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)luôn đúng do a;b>0
dễ rồi nhé
b) \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
\(P=\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel (mình nói bđt như vậy,chỗ này bạn cứ nói theo cái bđt đề bài cho đi) ta được:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\)
=>\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
=>Pmax=3/4 <=> x=y=z=1/3
Theo bđt AM GM Ta có : \(\hept{\begin{cases}1+a^2\ge2a\\1+b^2\ge2b\\1+c^2\ge2c\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{1+b^2}\le\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\left(1\right)\\\frac{b}{1+b^2}\le\frac{b}{2b}=\frac{1}{2}\left(2\right)\\\frac{c}{1+c^2}\le\frac{c}{2c}=\frac{1}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng vế với vế của (1) ; (2); (3) ta được :
\(\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+c^2}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\) (đpcm)