Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sửa đề nhé\(\dfrac{1}{3x+3y+2z}=\dfrac{1}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)+\left(x+y\right)+\left(x+y\right)}\)
\(\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{z+y}+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+y}\right)\)
CMTT và cộng theo vế:
\(VT\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{z+y}+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{y+z}\right)\)
\(=\dfrac{1}{16}.24=\dfrac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{4}\)
Ta có :
\(\dfrac{1}{3x+3y+2z}=\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)+\left(2y+x+z\right)}\)(1)
Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y+x+z}+\dfrac{1}{y+x+y+z}\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}\right)\right)\)
\(=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{y+z}\right)\)
tương tự với hai ông còn lại sau đó cộng lại ta được:
\(\Sigma\dfrac{1}{3x+3y+2z}\le\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\geq \frac{16}{3x+3y+2z}\)
\(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\geq \frac{16}{3x+2y+3z}\)
\(\frac{1}{z+y}+\frac{1}{z+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}\geq \frac{16}{2x+3y+3z}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow 4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\geq 16\left(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\leq \frac{4.6}{16}=\frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\Sigma\dfrac{1}{2x+3y+3z}\le\Sigma\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{y+z}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{4}{16}\Sigma\left(\dfrac{1}{x+y}\right)=\dfrac{2017}{4}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{4034}\)
Trai Vô Đối câu này đề thi vô lớp 10 tỉnh Thanh Hóa ( tất cả thí sinh nek .... lúc nào rảnh mik đăng lên thử xem sao )
Bài 1 :
Ta có : \(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{2}{b^2+3ab}=\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\)
Theo BĐT Cô - Si dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{3a^2+6ab+3b^2}=\dfrac{9}{3\left(a+b\right)^2}=\dfrac{9}{3.1}=3\)
Dấu \("="\) xảy ra khi : \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\(\left (\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)(x+x+x+y+y+z)\geq (1+1+1+1+1+1)^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{36}{3x+2y+z}\)
Thực hiện tương tự:
\(\frac{3}{y}+\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\geq \frac{36}{3y+2z+x}\)
\(\frac{3}{z}+\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{36}{3z+2x+y}\)
Cộng theo vế các BĐT vừa có thu được:
\(6\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\geq 36\left(\frac{1}{3x+2y+z}+\frac{1}{3y+2z+x}+\frac{1}{3z+2x+y}\right)\)
\(\Leftrightarrow 72\geq 36\left(\frac{1}{3x+2y+z}+\frac{1}{3y+2z+x}+\frac{1}{3z+2x+y}\right)\)
\(\Leftrightarrow P\leq 2\)
Vậy \(P_{\max}=2\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{4}\)
Lời giải:
Biến đổi: \(P=\frac{3}{4}-\frac{y+z}{4x}+\frac{3}{4}-\frac{x+z}{4y}+\frac{3}{4}-\frac{x+y}{4z}\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{9}{4}-\frac{1}{4}\underbrace{\left(\frac{x+y}{z}+\frac{x+z}{y}+\frac{z+y}{x}\right)}_{M}\)
Xét M
Áp dụng BĐT Am-Gm: \(M\geq 3\sqrt[3]{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}}\)
Tiếp tục Am-Gm: \((x+y)(y+z)(z+x)\geq 2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\)
\(\Rightarrow M\geq 3\sqrt[3]{8}=6\)
Do đó \(P=\frac{9}{4}-\frac{M}{4}\leq \frac{9}{4}-\frac{6}{4}\Leftrightarrow M\leq \frac{3}{4}\)
Vậy \(P_{\max}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=y=z\)
\(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\)\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz:
\(\dfrac{1}{4x+3y+z}\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
CMTT\(\Rightarrow\) \(M\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{8}{z}\right)=\dfrac{1}{8}\)
Dấu''=" xảy ra\(\Leftrightarrow x=y=z=3\)
Ta có \(\dfrac{3x-2y}{4}=\dfrac{2z-4x}{3}=\dfrac{4y-3z}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{4\left(3x-2y\right)}{16}=\dfrac{3\left(2x-4x\right)}{9}=\dfrac{2\left(4y-3z\right)}{4}=\dfrac{12x-8y-12x+8y-6z}{29}\)
Do đó:
\(\dfrac{3x-2y}{4}=0\Rightarrow3x=2y\Rightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}\left(1\right)\)
\(\dfrac{2z-4x}{3}=0\Rightarrow2z=4x\Rightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{z}{4}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}\). Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}=\dfrac{x+y+z}{2+3+4}=\dfrac{18}{9}=2\Rightarrow x=4;y=6;z=8\)
cảm ơn chị ạ