Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1:
Ta có \(\int \frac{dx}{x^4+1}=\frac{1}{2}\int \left ( \frac{x^2+1}{x^4+1}-\frac{x^2-1}{x^4+1} \right )dx=\frac{1}{2}\int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx\)
\(\frac{1}{2}\int \frac{d\left ( x-\frac{1}{x} \right )}{x^2+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{2}\int \frac{d\left ( x+\frac{1}{x} \right )}{x^2+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x-\frac{1}{x})}{(x-\frac{1}{x})^2+2}+\frac{1}{2}\int \frac{d(x+\frac{1}{2})}{(x+\frac{1}{x})^2-2}\)
Đặt \(x-\frac{1}{x}=a,x+\frac{1}{x}=b\Rightarrow A=\frac{1}{2}\int \frac{da}{a^2+2}+\frac{1}{2}\int \frac{db}{b^2-2}\)
Bằng cách đặt \(a=\sqrt{2}\tan u (-\frac{\pi}{2}< u<\frac{\pi}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\int \frac{da}{a^2+2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\tan^{-1}\left (\frac{a}{\sqrt{2}} \right)+c\)
\(\frac{1}{2}\int \frac{db}{b^2-2}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\int \left (\frac{1}{b-\sqrt{2}}-\frac{1}{b+\sqrt{2}} \right)db\)\(=\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln|\frac{b-\sqrt{2}}{b+\sqrt{2}}|+c\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{2\sqrt{2}}\tan^{-1} \left (\frac{x^2-1}{\sqrt{2}x} \right)-\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln|\frac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}|+c\)
Awn, chúc mừng năm mới!
Câu 2:
\(B=\int \frac{x^4+1}{x^6+1}=\int\frac{(x^2+1)^2-2x^2}{(x^2+1)(x^4-x^2+1)}dx=\int\frac{x^2+1}{x^4-x^2+1}dx-2\int \frac{x^2dx}{(x^3)^2+1}\)
\(\int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2-1+\frac{1}{x^2}}dx-\frac{2}{3}\int\frac{d(x^3)}{(x^3)^2+1}=\int\frac{d\left (x-\frac{1}{x} \right)}{\left (x-\frac{1}{x}\right)^2+1}-\frac{2}{3}\int\frac{d(x^3)}{(x^3)^2+1}\)
Đặt \(x-\frac{1}{x}=a, x^3=b\). Cần tính \(B=\int\frac{da}{a^2+1}-\frac{2}{3}\int\frac{db}{b^2+1}\)
Đến đây bài toán trở về dạng quen thuộc . Đặt \(a=\tan u, b=\tan v\)
\(\Rightarrow B=\tan ^{-1}\left (x-\frac{1}{x}\right)-\frac{2}{3}\tan^{-1}(x^3)+c\)
1) Đặt \(t=1+\sqrt{x-1}\Leftrightarrow x=\left(t-1\right)^2+1\forall t\ge1\Rightarrow dx=d\left(t-1\right)^2=2dt\)
\(\Rightarrow I_1=\int\frac{\left(t-1\right)^2+1}{t}\cdot2dt=2\int\frac{t^2-2t+2}{t}dt=2\int\left(t-2+\frac{2}{t}\right)dt\\ =t^2-4t+4lnt+C\)
Thay x vào ta có...
2) \(I_2=\int\frac{2sinx\cdot cosx}{cos^3x-\left(1-cos^2x\right)-1}dx=\int\frac{-2cosx\cdot d\left(cosx\right)}{cos^3x+cos^2x-2}=\int\frac{-2t\cdot dt}{t^3+t-2}\)
\(I_2=\int\frac{-2t}{\left(t-1\right)\left(t^2+2t+2\right)}dt=-\frac{2}{5}\int\frac{dt}{t-1}+\frac{1}{5}\int\frac{2t+2}{t^2+2t+2}dt-\frac{6}{5}\int\frac{dt}{\left(t+1\right)^2+1}\)
Ta có:
\(\int\frac{2t+2}{t^2+2t+2}dt=\int\frac{d\left(t^2+2t+2\right)}{t^2+2t+2}=ln\left(t^2+2t+2\right)+C\)
\(\int\frac{dt}{\left(t+1\right)^2+1}=\int\frac{\frac{1}{cos^2m}}{tan^2m+1}dm=\int dm=m+C=arctan\left(t+1\right)+C\)
Thay x vào, ta có....
\(I=\int\limits^5_3\left(\frac{2}{2x-1}-\frac{10}{\left(2x-1\right)^2}\right)dx=\left(2ln\left(2x-1\right)+\frac{5}{2x-1}\right)|^5_3=2ln\frac{9}{5}-\frac{4}{9}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=5\\c=-4\end{matrix}\right.\)
a) \(\int\frac{1}{x^2-3x+2}dx=\frac{1}{2-1}\int\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}dx\)
=\(\int\frac{1}{x-2}dx-\int\frac{1}{x-1}dx=ln\left|x-2\right|-ln\left|x-1\right|=ln\left|\frac{x-2}{x-1}+C\right|\)
b) \(\int\frac{1}{4x^2-3x-1}dx=\frac{1}{4}.\frac{1}{\left(1-\frac{1}{4}\right)}\int\frac{1}{\left(x+\frac{1}{4}\right)\left(x-1\right)}dx\)
=\(\frac{1}{3}.\left[\int\frac{1}{x-1}dx-\int\frac{1}{x+\frac{1}{4}}dx\right]\)
=\(\frac{1}{3}\left[ln\left|x-1\right|-ln\left|x+\frac{1}{4}\right|\right]=\frac{1}{3}ln\left|\frac{x-1}{x+\frac{1}{4}}\right|+C\)
=\(\frac{1}{3}ln\left|\frac{4\left(x-1\right)}{4x+1}+C\right|\)
a)
\(\frac{1}{x^2-4x+4}dx=\frac{1}{\left(x-2\right)^2}dx=-\frac{1}{x-2}+C\)
b) \(\frac{1}{9x^2-12x+4}dx=\frac{1}{9\left(x-\frac{2}{3}\right)^2}dx=\frac{1}{9}.\frac{1}{\left(x-\frac{2}{3}\right)^2}dx=\frac{1}{9}.\frac{1}{x-\frac{2}{3}}=\frac{1}{9x-6}+C\)
Đây là nguyên hàm của phân thức hữu tỉ thực sự. Đa thức mẫu số có hai nghiệm là \(x=0,x=-2\). Ta có \(x^3+4x^2+4x=x\left(x+2\right)^2\)
Ta viết biểu thức dạng \(\frac{x^2+3x-1}{x^3+4x^2+4x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{\left(x+2\right)^2}\) (1)
Trong đó A, B, C là những hệ số chưa được xác định (chưa biết)
Nghiệm \(x=2\) có bội bằng 2, cho nên trong khai triển vừa viết nó tương ứng với hai số hạng.
Quy đồng rồi khử mẫu số ở hai vế (1) ta có
\(x^2+3x-1\equiv A\left(x+2\right)^2+Bx\left(x+2\right)+Cx\) (2)
Ta cần xác định các hệ số A,B,C
Cân bằng hệ số các lũy thừa cùng bậc x ở hai vế, ta có :
\(\begin{cases}A+B=1\\4A+2B+C=3\\4A=-1\end{cases}\)\(\Rightarrow\) \(A=-\frac{1}{4};B=\frac{5}{4};C=\frac{3}{2}\)