Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1,ĐK: \(x,y\ne-2\)
HPT<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x\left(x+2\right)+y\left(y+2\right)=\left(x+2\right)\left(y+2\right)\left(1\right)\\x^2\left(x+2\right)^2+y^2\left(y+2\right)^2=\left(x+2\right)^2\left(y+2\right)^2\end{matrix}\right.\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x^2\left(x+2\right)^2+2xy\left(x+2\right)\left(y+2\right)+y^2\left(y+2\right)^2=\left(x+2\right)^2\left(y+2\right)^2\\x^2\left(x+2\right)^2+y^2\left(y+2\right)^2=\left(x+2\right)^2\left(y+2\right)^2\end{matrix}\right.\)
=> \(2xy\left(x+2\right)\left(y+2\right)=0\)
<=>\(2xy=0\) (do x+2 và y+2 \(\ne0\))
<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)
Tại x=0 thay vào (1) có: \(y\left(y+2\right)=2\left(y+2\right)\) <=> y= \(\pm2\) => y=2 (vì y khác -2)
Tại y=0 thay vào (1) có: \(x\left(x+2\right)=2\left(x+2\right)\) => x=2
Vậy HPT có 2 nghiệm duy nhất (2,0),(0,2)
2, ĐK: \(y\ne-1\)
HPT <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=2\left(x+3\right)\left(y+1\right)\left(1\right)\\\frac{3x^2}{y+1}=4-x\end{matrix}\right.\)
=> \(\frac{6\left(3+x\right)\left(y+1\right)}{y+1}=4-x\)
<=> 6(x+3)=4-x
<=> \(14=-7x\)
<=> \(x=-2\) thay vào (1) có \(4=2\left(y+1\right)\)
<=>y=1\(\)( tm)
Vậy hpt có một nghiệm duy nhất (-2,1)
3,\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-y=y^2-x\left(1\right)\\x^2-x=y+3\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
PT (1) <=> \(\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(x-y\right)=0\)
<=> (x-y)(x+y+1)=0
<=>\(\left[{}\begin{matrix}x=y\\y=-x-1\end{matrix}\right.\)
Tại x=y thay vào (2) có \(y^2-y=y+3\) <=> \(y^2-2y-3=0\) <=> (y-3)(y+1)=0 <=> \(\left[{}\begin{matrix}y=3\\y=-1\end{matrix}\right.\) => \(\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-1\end{matrix}\right.\)
Tại y=-1-x thay vào (2) có: \(x^2-x=-1-x+3\) <=> \(x^2=2\) <=> \(\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{2}\\x=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) => \(\left[{}\begin{matrix}y=-1-\sqrt{2}\\y=-1+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy hpt có 4 nghiệm (3,3),(-1,-1), ( \(\sqrt{2},-1-\sqrt{2}\)),( \(-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}\))
4,\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{9}{2}\left(1\right)\\xy+\frac{1}{xy}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=5\left(2\right)\end{matrix}\right.\)(đk:\(x\ne0,y\ne0\))
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)=\frac{9}{2}\\\left(y+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)=5\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\frac{1}{x}=u\\y+\frac{1}{y}=v\end{matrix}\right.\)
Có \(\left\{{}\begin{matrix}u+v=\frac{9}{2}\\uv=5\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}u=\frac{9}{2}-v\\v\left(\frac{9}{2}-v\right)=5\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}u=\frac{9}{2}-v\\\left(v-\frac{5}{2}\right)\left(v-2\right)=0\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}u=\frac{9}{2}-v\\\left[{}\begin{matrix}v=\frac{5}{2}\\v=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}v=\frac{5}{2}\\u=2\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}v=2\\u=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Tại \(\left\{{}\begin{matrix}v=\frac{5}{2}\\u=2\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+\frac{1}{x}=2\\y+\frac{1}{y}=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0\\\left(y-2\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)=0\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Tại \(\left\{{}\begin{matrix}v=2\\u=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\\y+\frac{1}{y}=2\end{matrix}\right.\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=0\\\left(y-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\\y=1\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\y=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy hpt có 4 nghiệm (1,2),( \(1,\frac{1}{2}\)) ,( 2,1),(\(\frac{1}{2},1\)).
10.
\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2-3xy+y^2+x-y=0\\x^2+x+1=y^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2-2xy-xy+y^2+x-y=0\\x^2+x+1=y^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)\left(2x-y+1\right)=0\\x^2+x+1=y^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=y\\y=2x+1\end{matrix}\right.\\x^2+x+1=y^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x^2+x+1=y^2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=2x+1\\x^2+x+1=y^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x^2+x+1=x^2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=2x+1\\x^2+x+1=\left(2x+1\right)^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x=-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=2x+1\\3x\left(x+1\right)=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=1\\\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=2x+1\\x=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=2x+1\\x=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=-1\\\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=-1\\\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
e) Sửa đề: \(\left\{{}\begin{matrix}x\left(x^2-y^2\right)+x^2=2\sqrt{\left(x-y^2\right)^3}\\76x^2-20y^2+2=\sqrt[3]{4x\left(8x+1\right)}\end{matrix}\right.\)
PT(1) \(\Leftrightarrow x^3+x\left(x-y^2\right)=\sqrt{\left(x-y^2\right)^3}\)
Đặt \(\sqrt{x-y^2}=a.\text{Thay vào, ta có: }x^3+xa^2-2a^3=0\)
Làm tiếp như ở Câu hỏi của Nguyễn Mai - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Băng Băng 2k6, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Việt Lâm, HISINOMA KINIMADO, Akai Haruma, Inosuke Hashibira, Nguyễn Thị Ngọc Thơ, Nguyễn Lê Phước Thịnh, Quân Tạ Minh, An Võ (leo), @tth_new
e nhiều bài quá giải k kịp mn giúp e vs ạ!cần gấp lắm ạ
thanks nhiều!
mk làm 1 câu các câu còn lại tương tự nha :
a) ta có : \(pt\Leftrightarrow x^2-6x+9=-y^2-10y+33\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=-y^2-10y+33\ge0\)
\(\Leftrightarrow-5-\sqrt{58}\le y\le-5+\sqrt{58}\) \(\Rightarrow x\in\left\{-12;-11;-10;...;1;2\right\}\) có y thế vào tìm x
Bài 3:
PT \(\Leftrightarrow x^2y+xy^2-(x^2+y^2)-1=0\)
\(\Leftrightarrow xy(x+y)-[(x+y)^2-2xy]-1=0\)
\(\Leftrightarrow ab-(a^2-2b)-1=0\) (đặt $x+y=a; xy=b$)
\(\Leftrightarrow a^2-ab-2b+1=0\)
\(\Leftrightarrow a^2-b(a+2)+1=0\)
\(\Leftrightarrow b(a+2)=a^2+1\)
Nếu $a+2=0$ thì $a=-2$
$\Rightarrow b.0=5$ (vô lý). Do đó $a+2\neq 0$
$\Rightarrow b=\frac{a^2+1}{a+2}$.
Với $x,y$ nguyên thì $a,b$ nguyên. Để $b$ nguyên thì $a^2+1\vdots a+2$
$\Leftrightarrow (a-2)(a+2)+5\vdots a+2$
$\Leftrightarrow 5\vdots a+2$
$\Rightarrow a+2\in\left\{\pm 1;\pm 5\right\}$
$\Rightarrow a\in\left\{-3; -1; -7; 3\right\}$
$\Rightarrow b\in\left\{-10; 2; -10; 2\right\}$ (tương ứng)
Với $(a,b)=(-3,-10)$, áp dụng đly Vi-et đảo thì $x,y$ sẽ là nghiệm của PT $X^2+3X-10=0$ $\Rightarrow (x,y)=(2,-5)$ và hoán vị.
Tương tự với các TH còn lại ta thu được: $(x,y)=(2,1); (2,-5)$ và các hoán vị.
Bài 4: Ta xét các TH sau:
TH1 $x\geq 1$
\(x^6+3x^3+1>x^6=(x^3)^2\)
\(x^6+3x^3+1=(x^3+2)^2-x^3-3< (x^3+2)^2\)
\(\Rightarrow (x^3)^2< x^6+3x^3+1< (x^3+2)^2\)
\(\Leftrightarrow (x^3)^2< y^4< (x^3+2)^2\)
Theo nguyên lý kẹp thì $y^4=(x^3+1)^2$
$\Leftrightarrow x^6+3x^3+1=(x^3+1)^2$
$\Leftrightarrow x=0$ (loại vì $x\geq 1$)
TH2: $x=0; x=-1$ thì ta thấy $x=0$ thỏa mãn, kéo theo $y=\pm 1$
TH3: $x\leq -2\rightarrow x^3\leq -8$. Do đó:
\(x^6+3x^3+1\leq x^6+2x^3+(-8)+1< (x^3+1)^2\)
\(x^6+3x^3+1=x^6+4x^3-x^3-1\geq x^6+4x^3+9>(x^3+2)^2\)
\(\Rightarrow (x^3+1)^2> x^6+3x^3+1> (x^3+2)^2\)
\(\Rightarrow (x^3+1)^2>y^4> (x^3+2)^2\) (vô lý theo nguyên lý kẹp)
Vậy $(x,y)=(0,\pm 1)$
gợi ý nè
1) \(ab+c=ab+c\left(a+b+c\right)\)....
2) nhiều cách lắm nhưng tớ chỉ đưa ra 2 cách ...có vẻ hay
đặt \(\sqrt{x}=a,\sqrt{y}=b\)
=>a3+b3=a4+b4=a5+b5
c1: ta có: \(\left(a^3+b^3\right)\left(a^5+b^5\right)=\left(a^4+b^4\right)^2\)......
c2: a5+b5=(a+b)(a4+b4)-ab(a3+b3)
=> 1=(a+b)-ab .......
3) try use UCT
4) tính sau =))
mấy bài dạng như này mk sẽ hướng dẩn nha .
a) ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y-2\right)\left(2x-y\right)=0\\x^2+y^2=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x+y-2=0\\2x-y=0\end{matrix}\right.\\x^2+y^2=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=0\\x^2+y^2=2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2x-y=0\\x^2+y^2=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) giải bằng cách thế bình thường nha
b) ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+2x+2y=6\\x+y-3xy+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+6xy-5=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)^2+2xy-5=0\) sài vi ét --> .......................
c) đây là phương trình đối xứng loại 1 , có trên mang nha .
câu d và e là phương trình đối xứng loại 2 , cũng có trên mạng nha .
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
\(\left(x^2+y\right)\left(x+y^2\right)=\left(x-y\right)^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+\left(xy\right)^2+xy+y^3=x^3-xy\left(x-y\right)+y^3\)
\(\Leftrightarrow xy\left(xy+1\right)=xy\left(y-x\right)\)
Xét hai TH:
+ TH1: xy = 0: Khi đó \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\).
+ TH2: xy \(\ne\) 0: Ta được xy + 1 = y - x
\(\Leftrightarrow xy+x-y+1=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(y+1\right)-y-1+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y+1\right)=-2\). Ở đây dễ rồi
a) ta có : \(x^2+x+6=y^2\) \(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=y^2-\dfrac{23}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y\ge\dfrac{\sqrt{23}}{2}\\y\le\dfrac{-\sqrt{23}}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(y=???\) thế vào tìm x
b) tương tự
c) \(x^3-y^3=3xy+1\Leftrightarrow x^3-1=y^3+3xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=y\left(y^2+3x\right)\)
\(\Leftrightarrow x-1\) và \(y\left(y^2+3x\right)\) cùng dấu \(\Rightarrow\) ...
d) ai gỏi lm giùm nha