Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1 + y2 = xy + yz + xz + y2 = (x + y)(y + z)
1 + z2 = xy + yz + xz + z2 = (x + z)(z + y)
1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = (y + x)(x + z)
Sau khi thay vào và rút gọn ta được
S = x(y + z) + y(x + z) + z(x + y)
S = 2(xy + yz + xz) = 2.1 = 2
Lời giải:
$\left\{\begin{matrix}x^2(y-z)=\frac{-5}{3} (1)\\ y^2(z-x)=3 (2)\\ z^2(x-y)=\frac{1}{3} (3)\end{matrix}\right.$
Ta có "vòng đặc biệt" này: $(x^2y^2-z^2x^2)+(y^2z^2-x^2y^2)+(z^2x^2-y^2z^2)=0$.
Từ đó, ta lấy: $(1).(y+z)+(2).(z+x)+(3).(x+y)=0$, ta được: $y-z=\frac{5}{2}x$.
Thế vào phương trình đầu ta được: $x=-\sqrt[3]{\frac{2}{3}},\ y=-\sqrt[3]{18},\ z=-\frac{1}{\sqrt[3]{12}}$.
3a)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{2y-1}=2\\\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{2y-1}=1\end{matrix}\right.\) (ĐK: x≠2;y≠\(\dfrac{1}{2}\))
Đặt \(\dfrac{1}{x-2}=a;\dfrac{1}{2y-1}=b\) (ĐK: a>0; b>0)
Hệ phương trình đã cho trở thành
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\2a-3b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2-b\\2\left(2-b\right)-3b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2-b\\4-2b-3b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2-b\\b=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{7}{5}\left(TM\text{Đ}K\right)\\b=\dfrac{3}{5}\left(TM\text{Đ}K\right)\end{matrix}\right.\) Khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{7}{5}\\\dfrac{1}{2y-1}=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7\left(x-2\right)=5\\3\left(2y-1\right)=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x-14=5\\6y-3=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{19}{7}\left(TM\text{Đ}K\right)\\y=\dfrac{4}{3}\left(TM\text{Đ}K\right)\end{matrix}\right.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y)=\(\left(\dfrac{19}{7};\dfrac{4}{3}\right)\)
b) Bạn làm tương tự như câu a kết quả là (x;y)=\(\left(\dfrac{12}{5};\dfrac{-14}{5}\right)\)
c)\(\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x-1}+2\sqrt{y}=13\\2\sqrt{x-1}-\sqrt{y}=4\end{matrix}\right.\)(ĐK: x≥1;y≥0)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x-1}+2\sqrt{y}=13\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x-1}+4\sqrt{x-1}=13\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7\sqrt{x-1}=13\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}49\left(x-1\right)=169\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}49x-49=169\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{218}{49}\\y=\dfrac{4}{49}\end{matrix}\right.\left(TM\text{Đ}K\right)\)
Bài 4:
Theo đề, ta có hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}3\left(3a-2\right)-2\left(2b+1\right)=30\\3\left(a+2\right)+2\left(3b-1\right)=-20\end{matrix}\right.\)
=>9a-6-4b-2=30 và 3a+6+6b-2=-20
=>9a-4b=38 và 3a+6b=-20+2-6=-24
=>a=2; b=-5
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}=1\\xyz\left(x+y+z\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=1296\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\dfrac{1}{x+1}=a;\dfrac{1}{y+1}=b;\dfrac{1}{z+1}=c\left(a,b,c>0\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c=1\)
\(\dfrac{1}{x+1}=a\)
\(\Rightarrow x+1=\dfrac{1}{a}\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{a}-1=\dfrac{1-a}{a}=\dfrac{b+c}{a}\)
Tương tự, ta có: \(y=\dfrac{a+c}{b};z=\dfrac{a+b}{c}\)
Đặt \(M=xyz\left(x+y+z\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)
\(=\dfrac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{abc}\times\left(\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{a+b}{c}\right)\times\dfrac{1}{abc}\)
\(=\dfrac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{a^2b^2c^2}\times\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}\right)\)
\(\ge\dfrac{8abc}{a^2b^2c^2}\times\left(2+2+2\right)\) (bđt AM - GM)
\(\ge\dfrac{8}{\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}}\times6=1296\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=y=z=2\)
cách này điên thật