Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2 bạn tham khảo cách làm của cô Linh Chi tại đây nhé :
Câu hỏi của nguyen trung nghia - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Học tốt và cá tháng tư đừng để bị troll nha !!!!!!!!!!!
B1:
\(M=\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
\(=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
Nhờ dự đoán được điểm rơi,ta chứng minh bất đẳng thức sau luôn đúng:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le\frac{5}{2}\)
Thật vậy !!!
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y}{x}-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x-y}{2y}+\frac{y-2x}{x}\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x^2-xy+2y^2-4xy}{2xy}\le0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-5xy+2y^2\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(2x-y\right)\le0\) ( đúng )
Dấu "=" xảy ra tại \(x=1;y=2\)
Vậy \(M_{max}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow x=1;y=2\)
Xét \(xy>1\)
Ta chứng minh: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{2}{1+xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)\ge0\)(đúng)
Dấu = xảy ra khi \(x=y\) (loại)
Xét \(xy< 1\)
Ta chứng minh: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{2}{1+xy}\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)\le0\)(đúng)
Dấu = xảy ra khi \(x=y\) (loại)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow xy=1\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{2}{1+xy}=\frac{4}{1+xy}=\frac{4}{2}=2\)
a) Áp dụng bài toán sau : a + b + c = 0 \(\Rightarrow\)a3 + b3 + c3 = 3abc
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)\(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=3.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}\)
Ta có : \(A=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{xyz}{x^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{z^3}\)
\(A=xyz.\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.3.\frac{1}{xyz}=3\)
b) x2 + y2 + z2 - xy - 3y - 2z + 4 = 0
4x2 + 4y2 + 4z2 - 4xy - 12y - 8z + 16 = 0
( 4x2 - 4xy + y2 ) + ( 3y2 - 12y + 12 ) + ( 4z2 - 8z + 4 ) = 0
( 2x - y )2 + 3 ( y - 2 )2 + 4 ( z - 1 )2 = 0
Ta có : ( 2x - y )2 \(\ge\)0 ; 3 ( y - 2 )2 \(\ge\)0 ; 4 ( z - 1 )2 \(\ge\)0
Mà ( 2x - y )2 + 3 ( y - 2 )2 + 4 ( z - 1 )2 = 0
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}2x-y=0\\y-2=0\\z-1=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=1\end{cases}}}\)
Vậy ....
a/ \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(2+x^2+y^2\right)\ge2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2+x^2+y^2+2xy+xy\left(x^2+y^2\right)\ge2+2x^2+2y^2+2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2-2xy\right)-\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ Để biểu thức xác định \(\Rightarrow x\ne0\Rightarrow x^2\ge1\)
\(4=\frac{y^2}{4}+x^2+\frac{1}{x^2}+x^2\ge\frac{y^2}{4}+2\sqrt{\frac{x^2}{x^2}}+1\ge\frac{y^2}{4}+3\)
\(\Rightarrow\frac{y^2}{4}\le1\Rightarrow y^2\le4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^2=0\\y^2=1\\y^2=4\end{matrix}\right.\)
\(y^2=0\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=4\Rightarrow2x^4-4x^2+1=0\) (ko tồn tại x nguyên tm)
\(y^2=1\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=3\Rightarrow2x^4-3x^2+1=0\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow\left(x;y\right)=...\)
\(y^2=4\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=0\Rightarrow\) ko tồn tại x thỏa mãn
Ta có: \(\frac{xy+1}{x+y}\ge\frac{3y+1}{x+y}\ge\frac{3y+1}{2y}>\frac{3y}{2y}=\frac{3}{2}\)( mâu thuẫn với gt)
giả sử \(a\le2\Rightarrow a\in\left\{1;2\right\}\)
+ Với a=1 \(\Rightarrow M=\frac{y^3+1}{y^3+1}=1\)
+ Với a=2 \(\Rightarrow M=\frac{8y^3+1}{y^3+8}\)
Từ đk \(\frac{xy+1}{x+y}=\frac{2y+1}{y+2}< \frac{3}{2}\Rightarrow b< 4\)
=> \(b\in\left\{1;2;3\right\}\)
+ Với b=1 \(\Rightarrow M=\frac{9}{9}=1\)
+ Với b=2 \(\Rightarrow M=\frac{8.8+1}{8+8}=\frac{65}{16}\)
+ vỚI b=3 \(\Rightarrow M=\frac{8.27+1}{27+8}=\frac{217}{35}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=3\end{cases}}\) hoặc ngược lại.
áp dùng BDT cô si chúa Pain có
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2y^2}}=\frac{2}{xy}\Rightarrow xy\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\ge2.\)
mà \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{xy}{2}\ge\Rightarrow xy\ge4\)
b)
áp dụng BDT cô si ta có
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
lấy từ câu A ta có \(xy\ge4\) " câu a"
suy ra
\(x+y\ge2\sqrt{4}=4\)
6) Ta có
\(A=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\)
\(=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+2xz+yz+2xy+zx+2yz}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{1}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{1}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{1}{3}\)