Question

[Nguyễn Ngọc Kim Ngân]

Tìm các số nguyên tố n sao cho 2ⁿ + n² là số nguyên tố

Giả sử p là số nguyên tố không nhỏ hơn 5. CMR  p² - 1 chia hết cho 24

---

Answer 1

[soyeon_Tiểu bàng giải]

Bài 1) +Với n = 2, ta có 2² + 2² = 4 + 4 = 8, là hợp số, loại

+Với n = 3, ta có 2³ + 3² = 8 + 9 = 17, là số nguyên tố, chọn

+Với n > 3, do n nguyên tố nên n lẻ => n = 2k+1 ( k thuộc N*)

=> 2ⁿ = 2^2k+1 = 2^2k . 2 = (2^k)² . 2, do 2 không chia hết cho 3 => 2^k không chia hết cho => (2^k)² không chia hết cho 3

Mà (2^k)² là số chính phương nên (2^k)² chia 3 dư 1 => (2^k)² . 2 chia 3 dư 2.

Mặt khác n² không chia hết cho 3 do n nguyên tố > 3 nên n² chia 3 dư 1 => 2ⁿ + n² chia hết cho 3

Mà 1 < 3 < 2ⁿ + n² nên 2ⁿ + n² là hợp số, loại

Vậy n = 3

Bài 2) Do p nguyên tố không nhỏ hơn 5 nên p không chia hết cho 3 => p² không chia hết cho 3. Mà p² là số chính phương nên p² chia 3 dư 1 => p² - 1 chia hết cho 3 (1)

Do p nguyên tố không nhỏ hơn 5 nên p lẻ => p² lẻ => p² chia 8 dư 1 => p² - 1 chia hết cho 8 (2)

Từ (1) và (2), do (3,8)=1 nên p² - 1 chia hết cho 8

Chứng tỏ p² - 1 chia hết cho 8 với p nguyên tố không nhỏ hơn 5