HH
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
18 tháng 10 2020
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1
14 tháng 2 2020
Từ điều kiện suy ra \(\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge3\)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có :
\(3\le\sqrt{xy}+\sqrt{x}.1+\sqrt{y}.1\le\frac{x+y}{2}+\frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}\)
\(\Rightarrow x+y\ge2\)
Ta có : \(\frac{x^2}{y}+y\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y}.y}=2x\); \(\frac{y^2}{x}+x\ge2\sqrt{\frac{y^2}{x}.x}=2y\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+x+y\ge2x+2y\)
\(\Rightarrow P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge x+y\ge2\)
Vậy GTNN của P là 2 khi x = y = 1
15 tháng 9 2018
TA CÓ:
\(B=\frac{1}{\sqrt{x\left(y+2z\right)}}+\frac{1}{\sqrt{y\left(z+2x\right)}}+\frac{1}{\sqrt{z\left(x+2y\right)}}\ge\frac{1}{\frac{x+y+2z}{2}}+\frac{1}{\frac{y+z+2x}{2}}+\frac{1}{\frac{z+x+2y}{2}}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)}=\frac{18}{3\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}\)
DẤU BẰNG XẢY RA:\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
15 tháng 9 2018
\(\frac{B}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3x\left(y+2z\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3y\left(z+2x\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3z\left(x+2y\right)}}\)
\(\ge\frac{1}{\frac{3x+y+2z}{2}}+\frac{1}{\frac{3y+z+2x}{2}}+\frac{1}{\frac{3z+x+2y}{2}}\ge\frac{2\left(1+1+1\right)^2}{6\left(x+y+z\right)}=\frac{18}{6\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{18\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=3\)
Dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
S
23 tháng 2 2020
Sửa đề cho x,y,z dương thỏa mãn xyz=1 tìm max \(...+\frac{1}{\sqrt{\left(2z+1\right)\left(x+2\right)}}\)
gọi bthuc là A
\(\frac{1}{\sqrt{\left(2x+1\right)\left(y+2\right)}}\le\frac{2}{2x+y+3}=\frac{2}{x+y+x+1+2}\le\frac{2}{2\sqrt{xy}+2\sqrt{x}+2}=\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1}\)
Tương tự,cộng vế theo vế ta dc:
\(A\le\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{1}{\sqrt{zx}+\sqrt{z}+1}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{xy}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+1+\sqrt{xy}}=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
14 tháng 3 2020
Do 2 không chia hết cho 3 nên \(2^n\)không chia hết cho 3 ( do \(n\in N\))
\(\Rightarrow2^n\)chia 3 dư 1 hoặc 2
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2^n-1⋮3\\2^n+1⋮3\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(2^n-1\right)\left(2^n+1\right)⋮3\)với mọi \(n\in N\)(đpcm)
2.a,
\(x^2-2x+3=2\sqrt{2x^2-4x+3}\)
Đặt \(\sqrt{x^2-2x+3}=t\left(t\ge\sqrt{2}\right)\)
\(\Rightarrow2x^2-4x+3=2t^2-3\)
\(\Rightarrow\)phương trình trên trở thành:
\(t^2=2\sqrt{2t^2-3}\)
\(\Leftrightarrow t^4=8t^2-12\)
\(\Leftrightarrow t^4-8t^2+12=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t^2-6\right)\left(t^2-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t^2-6=0\\t^2-2=0\end{cases}}\)
TH1. \(t^2-6=0\)\(\Rightarrow x^2-2x+3=6\)\(\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\)\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=3\)hoặc \(x=-1\)
TH2. \(t^2-2=0\) \(\Rightarrow x^2-2x+3=2\)\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow x=1\)
Vậy pt có tập nghiệm là \(S=\left\{1;3;-1\right\}\)
4.
a,
Xét tam giác ABO có OA=OB=R và AB=\(R\sqrt{2}\)(gt)
mà \(R^2+R^2=\left(R\sqrt{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\)độ dài 3 cạnh của tam giác ABO là một bộ số Pitagoras
\(\Rightarrow\)tam giác ABO vuông cân tại O
\(\Rightarrow\)\(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=45^0\)
Xét tam giác CAP có CA=CP=\(R_1\)\(\Rightarrow\)tam giác CAP cân tại C mà \(\widehat{CAP}=45^0\)
\(\Rightarrow\)tam giác CAP vuông cân tại C
tương tự \(\Rightarrow\)tam giác DBP vuông cân tại D
ta có: CP vuông góc vơi OA(c/m trên) và DB vuông góc với OB(c/m trên)
mà OA vuông góc vơi OB \(\Rightarrow\)\(\widehat{CPD}=90^0\)
\(\widehat{CMD}=\widehat{CMP}+\widehat{DMP}=\widehat{CPM}+\widehat{DPM}=\widehat{CPD}=90^0\)
\(\Rightarrow\)\(M\in\)đường tròn đường kính CD
do tứ giác OCPD là hình chữ nhật ( có 4 góc vuông ) \(\Rightarrow\)\(M,O,C,D,P\)cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OP (đpcm)
\(\Rightarrow\)OM vuông góc với MP mà CD vuông góc với MP ( t/c đường nối tâm vuông góc với dây chung tại trung điểm)
\(\Rightarrow OM//CD\)(đpcm)
19 tháng 5 2020
HSG toán 9 Quảng Nam năm 2018-2019
Giải: Từ đẳng thức đã cho suy ra: \(x>\frac{1}{2};y>\frac{1}{2};z>\frac{1}{2}\). Áp dụng (a+b)2 >= 4ab ta có:
\(\left(x+2y\right)^2=\left(\frac{2x+y}{2}+\frac{3y}{2}\right)^2\ge4\cdot\left(\frac{2x+y}{2}\right)\cdot\frac{3y}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2\ge3y\left(2x+y\right)\). Dấu "=" xảy ra <=> x=y
\(\Rightarrow\frac{2x+y}{x+2y}\le\frac{x+2y}{3y}\Rightarrow\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{2y+z}{y\left(y+2z\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\\\frac{2z+x}{z\left(z+2x\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\left("="\Leftrightarrow x=y=z\right)\)
Ta có \(\sqrt{\left(2x-1\right)\cdot1}\le\frac{\left(2x-1\right)+1}{2}\Rightarrow\sqrt{2x-1}\le2\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\)
Tương tự \(\frac{1}{y}\le\frac{1}{\sqrt{2y-1}},\frac{1}{z}\le\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\)Do đó:
\(A\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
Vậy GTLN của A=3 đạt được khi x=y=z=1
23 tháng 5 2021
Ta có \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=\sqrt{xyz}\left(x,y,z>0\right)\).
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}=1\).
\(P=\frac{1}{xyz}\left(x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+y\sqrt{2z^2+xz+2x^2}+z\sqrt{2x^2+xy+y^2}\right)\)\(\left(x,y,z>0\right)\).
Ta có:
\(\sqrt{2y^2+2yz+2z^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(y^2+2yz+z^2\right)+\frac{3}{4}\left(y^2-2yz+z^2\right)}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2+\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2}\).
Ta có:
\(\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2\ge0\forall y;z>0\).
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2+\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2\forall y;z>0\).
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2+\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)\forall y,z>0\).
\(\Leftrightarrow\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)\forall y;z>0\).
\(\Leftrightarrow x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}x\left(y+z\right)\forall x;y;z>0\left(1\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(y\sqrt{2x^2+xz+2z^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}y\left(x+z\right)\forall x;y;z>0\left(2\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(z\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}z\left(x+y\right)\forall x;y;z>0\left(3\right)\).
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:
\(x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+y\sqrt{2z^2+xz+2x^2}+z\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\)\(\ge\)\(\frac{\sqrt{5}}{2}\left[x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\right]=\sqrt{5}\left(xy+yz+zx\right)\).
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xyz}\left(x\sqrt{2y^2+yz+z^2}+y\sqrt{2z^2+zx+2x^2}+z\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\right)\)\(\ge\)\(\frac{\sqrt{5}\left(xy+yz+zx\right)}{xyz}=\sqrt{5}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\).
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{\sqrt{5}}{3}.3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{\sqrt{5}}{3}\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\)
\(\left(4\right)\).
Vì \(x,y,z>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta được:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\ge\)\(\left(1.\frac{1}{\sqrt{x}}+1.\frac{1}{\sqrt{y}}+1.\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\).
\(\Leftrightarrow\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\ge\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2=1^2=1\)
(vì\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}=1\)).
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{5}}{3}\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\ge\frac{\sqrt{5}}{3}\)\(\left(5\right)\).
Từ \(\left(4\right)\)và \(\left(5\right)\), ta được:
\(P\ge\frac{\sqrt{5}}{3}\).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z>0\\\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=\sqrt{xyz}\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=9\).
Vậy \(minP=\frac{\sqrt{5}}{3}\Leftrightarrow x=y=z=9\).
tìm điều kiện của K để A chia hết cho 16 biết A=K ^4+2^ 3-16k^ 2-2k -15
Ta có: \(x=\sqrt{2x\left(x-y\right)+2y-x+2}\)(1)
Vì x > 0 nên \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2=2x\left(x-y\right)+2y-x+2\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x^2+2xy-2y+x=2\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(x-2y\right)=2\)
Do x, y là số nguyên nên ta có bảng sau:
Mà x, y dương nên có các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là (2; 2) và (3; 2)